概率论与数理统计论文随机变量及其分布
第一零八回：强欢笑蘅芜庆生辰，死缠绵潇湘闻鬼哭
1）f(x，y)在x>0，y>0区域上的二重积分等于1，即可求出A；2）联合分布分数就是f(x，y)在二重积分（变上限积分）；3）f(x，y)在相应区域上的二重积分即为所求概率。这个输入框无法输入数学符号，只能用语言描述，见谅。
给出一组随机数据 怎么知道其概率分布函数？
同想知道，顶一下!
这属于概率密度函数PDF估计问题，方法有很多，如直方图、核密度估计、最大熵法等，找找相关的文献或专著吧。
楼主，请问您这个问题解决了吗，可以指导一下吗
给出是谁给出的?
1.你自己给出。那就简单了，所谓随机数是叫伪随机数，产生时受制于某种规律，如高斯分布，泊松分布，［0，1］均布，…，等等。
2.别人给出。
2.1）你可以借助工具做分布检验，如minitab, spss, excel
2.2）手算，或自己编能程处理。先排序，再统计分布函数，做曲线拟合，确定对应的分布参数。
分享一本概率论的经典书:《概率、随机变量与随机过程》 A·帕普里斯(A. Papoulis)
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Ding !
非常感谢楼主的慷慨分享!
謝謝分享
概率论与数理统计发展及其应用论文
（陈希孺访谈）记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。陈希孺院士：先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等领域的工作，特别是比利时天文学家兼统计学家凯特勒19世纪的工作，对促成现代数理统计学的诞生起了很大的作用。数理统计学的另一个重要源头来自天文和测地学中的误差分析问题。早期，测量工具的精度不高，人们希望通过多次量测获取更多的数据，以便得到对量测对象的精度更高的估计值。量测误差有随机性，适合于用概率论即统计的方法处理，远至伽利略就做过这方面的工作，他对测量误差的性态作了一般性的描述，法国大数学家拉普拉斯曾对这个问题进行了长时间的研究，现今概率论中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在这研究中的一个产物，这方面最著名且影响深远的研究成果有二：一是法国数学家兼天文家勒让德19世纪初（1805）在研究慧星轨道计算时发明的“最小二乘法”，他在估计过巴黎的子午线长这一工作中，曾使用这个方法。现今著作中把这一方法的发明归功于高斯，但高斯使用这一方法最早见诸文字是1809年，比勒让德晚。一种现在逐步取得公认——这项发明系由二人独立做出，看来使比较妥当的。另外一个重要成果是德国大学者高斯1809年在研究行星绕日运动时提出用正态分布刻画测量误差的分布。正态分布也常称为高斯分布，其曲线是钟形，极象颐和园中玉带桥那样的形状，故有时又称为“钟形曲线”，它反映了这样一种极普通的情况：天下形形色色的事物中，“两头小，中间大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中间者占多数——当然，这只是一个极粗略的描述，要作出准确的描述，须动用高等数学的知识。正是其数学上的特性成为其广泛应用的根据。正态分布在数理统计学中占有极重要的地位，现今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在，提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人们对他这一贡献评价之高。20世纪以前数理统计学发展的一个重要成果，是19世纪后期由英国遗传学家兼统计学家高尔顿发起，并经现代统计学的奠基人之一K·皮尔逊和其他一些英国学者所发展的统计相关与回归理论。所谓统计相关，是指一种非决定性的关系如人的身高X与体重Y，存在一种大致的关系，表现在X大（小）时，Y也倾向于大（小），但非决定性的：由X并不能决定Y。现实生活中和各种科技领域中，这种例子很多，如受教育年限与收入的关系，经济发展水平与人口增长速度的关系等，都是属于这种性质，统计相关的理论把这种关系的程度加以量化，而统计回归则是把有统计相关的变量，如上文的身高X和体重Y的关系的形式作近似的估计，称为回归方程，现实世界中的现象往往涉及众多变量，它们之间有错综复杂的关系，且许多属于非决定性质，相关回归理论的发明，提供了一种通过实际观察去对这种关系进行定量研究的工具，有着重大的认识和实用意义。到20世纪初年，由于上述几个方面的发展，数理统计学已积累了很丰富的成果——在此因篇幅关系，我们不能详尽无遗地一一列举有关的重要成果，如抽样调查的理论和方法方面的进展，但是直到这时为止，我们还不能说现代意义下的数理统计学已经建立起来，其主要标志之一就是这门学问还缺乏一个统一的理论框架，这个任务在20世纪上半叶得以完成，狭义一点说可界定在1921——1938年，起主要作用的是几位大师级的人物，特别是英国的费歇尔·K·皮尔逊，发展统计假设检验理论的奈曼与E·皮尔逊和提出统计决策函数理论的瓦尔德等。我国已故著名统计学家许宝（1910——1970）在这项工作中也卓有建树。自二战结束迄今，数理统计学有了迅猛的发展，主要有以下三方面的原因：一是数理统计学理论框架的建立以及概率论和数学工具的进展，为统计理论在面上和向纵深的发展打开了门径和提供了手段，许多在早期比较粗略的理论和方法，在理论上得到了完善与深入，并不断提出新的研究课题；二是实用上的需要，不断提出了复杂的问题与模型，吸引了学者们的研究兴趣；三是电子计算机的发明与普及应用，一方面提供了必要的计算工具——统计方法的实施往往涉及大量数据的处理与运算，用人力无法在合理的时间内完成，所以在早年，一些统计方法人们虽然知道，但很少付诸实用，就因为是人力所难及。计算机的出现解决了这个问题。而赋予统计方法以现实的生命力。同时，计算机对促进统计理论研究也有助益，统计模拟是其表现之一，在承认上述成就的同时，不少统计学家也指出这一时期发展中出现的一些问题或偏向，其中主要的一点是，数理统计学理论研究中的“数学化”气味愈来愈重，相当一部分研究工作停留在数学的层面，早期那种理论研究与现实问题密切结合的优良传统有所淡化，一些学者还提出了补救的建议，对未来统计学发展的方向进行探讨。同时，现实问题愈来愈涉及到大量的，结构复杂的数据，按现行的数理统计学规范去处理，显得力所不及，需要一些带有根本性创新的思路，使统计学的发展登上一个新的台阶，以适应应用上的需要，考虑这一背景，有的统计学家乐观地认为数理统计学正面临一个新的突破。在上面讲述数理统计学的发展状况时，我们着重在实际需要所起的促进作用方面，由于概率论的概念和方法是数理统计学的理论基础，概率论的进展也必然对数理统计学的发展起促进作用。概率，又称几率，或然率，指一种不确定的情况出现可能性的大小，例如，投掷一个硬币，“出现国徽”（国徽一面朝上）是一个不确定的情况。因为投掷前，我们无法确定所指情况（“出现国徽”）发生与否，若硬币是均匀的且投掷有充分的高度，则两面的出现机会均等，我们说“出现国徽”的概率是1/2；同时，投掷一个均匀骰子，“出现4点”的概率是1/6，除了这些以及类似的简单情况外，概率的计算不容易，往往需要一些理论上的假定，在现实生活中则往往用经验的方法确定概率，例如某地区有N人，查得其中患某种疾病者有M人，则称该地区的人患该种疾病的概率为M/N，这事实上是使用统计方法对发病概率的一个估计。概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博，这一点不难理解，某种情况出现可能性的大小要能够体察并引起研究的兴趣，必须满足两个条件：一是该情况可以在多次重复中被观察其发生与否（在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率），一是该情况发生与否与当事人的利益有关或为其兴趣关注之所在，用骰子赌博满足这些条件。当时有一个“分赌本问题”曾引起热烈的讨论，并经历了长达一百多年才得到正确的解决。在这过程中孕育了概率论一些重要的基本概念，举该问题的一个简单情况：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌情，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平，初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何，至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3：1，故赌注的公平分配应按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。当时的一些学者，如惠更斯、巴斯噶、费尔马等人，对这类赌情问题进行了许多研究，有的出版了著作，如惠更斯的一本著作曾长期在欧洲作为概率论的教科书，这些研究使原始的概率和有关概念得到发展和深化。不过，在这个概率论的草创阶段，最重要的里程碑是伯努利的著作《推测术》。在他死后的1713年发表，这部著作除了总结前人关于赌情的概率问题的成果并有所提高外，还有一个极重要的内容，即如今以他的名字命名的“大数律”，大数律是关于（算术）平均值的定理，算术平均值，即若干个数X1、X2……Xn之和除以n，是最常用的一种统计方法，人们经常使用并深信不疑。但其理论根据何在，并不易讲清楚， 就是伯努利的大数律要回答的问题，在某种程度上可以说，这个大数律是整个概率论最基本的规律之一，也是数理统计学的理论基石。概率论虽发端于赌博，但很快在现实生活中找到多方面的应用，首先是在人口、保险精算等方面，在其发展过程中出现了若干里程碑的《机遇的原理》，其第三版发表于1756年，法国大数学家拉普拉斯的《分析概率论》，发表于1812年，1933年苏联教学家柯尔莫哥洛夫完成了概率论的公理体系，在几条简洁的公理之下，发展出概率论整座的宏伟建筑，有如在欧几里得公理体系之下发展出整部几何。自那以来，概率论成长为现代数学的一个重要分支，使用了许多深刻和抽象的数学理论，在其影响下，数理统计的理论也日益向深化的方向发展。
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两个独立随机变量的乘积和商的概率密度函数
楼主，我也在找两个gamma分布变量的乘积的PDF，能否告知一下你是查的George 的哪篇论文吗
@2楼:楼主，我也在找两个gamma分布变量的乘积的PDF，能否告知一下你是查的George 的哪篇论文吗 论文找到了，感谢楼主的线索
Err Rates in Generalized Shadowed Fading Channels，这篇论文里提到了不是那么细节的细节，推导中引用了《I.S. Gradsheteyn and I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Sees, and Pducts, Academic: New York, 1994.》里面的积分公式。希望有所帮助