高一数学小论文800字关于函数的

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这篇作文可以这样写，例如数学函数形成要与历史相结合因为函数概念是数学概念中最重要的概念之一，在数学发展300年来函数概念，无数的数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。所以拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的纵向发展早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。以上就是函数形成与发展史，也是函数形成的重要原因。

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高一数学函数论文800字

一、函数内容处理方式的分析在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级。与以往相比，课程标准关于函数内容的要求发生了比较大的变化。 1． 强调函数背景及对其本质的理解无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习。以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念。一方面，丰富的实例既是概念的背景又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵。2．加强函数思想方法的应用函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑。比如，新增加的内容“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。二、函数内容编写的基本想法函数的内容包括：函数概念及其性质，基本初等函数（Ⅰ），函数与方程，函数模型及其应用。以理解函数概念本质为线索，既可以将这些内容有机地组织为一个整体，又可以让学生以它们为载体，逐步深入地理解函数概念1．内容组织的线索：函数概念本质的理解函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。由于函数概念的高度抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。首先，在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。然后，以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。最后，从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。2．突破难点的主要方法：显化过程，加强联系函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，在教材编写中应采用什么方法突破这个难点，帮助学生更好地理解函数概念？对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。概括就是把对象或关系的某些共同属性区分和固定下来。这就要求我们在编写教材时充分展示概括过程，并要充分调动学生的理性思维，引导他们积极主动地观察、分析和概括。教材选择了三个有一定代表性的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。作为中学数学的核心概念，函数与中学数学的许多概念都有内在联系，这种联系性为理解函数概念提供了众多的角度和机会，因此加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内在要求。例如，函数有多种表示方法，加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，就是促进理解的一个手段。教材通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，将表格表示转化为图象表示。又如，函数与现实生活有着密切的联系，所以在编写教材时注重加强函数与现实生活的联系，像由背景实例引入概念，在例题和习题中安排一定量的应用问题（碳14的衰减，地震震级，溶液的酸度等）都体现了函数与实际生活的外部联系。再如，从运用函数观点解决方程问题的角度介绍二分法，体现出函数与方程间的联系等等。三、函数内容编写中的几个关键问题1．实例如何选择无论是加强概念背景，还是突出知识的联系与应用，能达到很好效果的重要因素就是要选择合适的实例。那么，如何选择实例才能有助于学生的学习呢？对于起到不同作用的背景实例和应用实例，标准并不完全相同。但总的来说，一是实例的背景知识应该尽量简单，这样可以避免因背景的复杂性而影响对数学知识本身的理解；二是实例应丰富，这样有利于全面、准确地理解知识，不会产生偏差；三是实例应贴近学生生活、具有一定的时代性，这样才会引起学生的共鸣，激发学习的兴趣。比如，介绍函数概念时，教材选择了用解析式表示炮弹飞行的问题、用图象表示南极臭氧空洞的问题、用表格表示恩格尔系数的问题，第一个问题是学生在物理中就很熟悉的，后两个问题是日常生活中经常提及的，背景相对来说比较简单，学生就不会因为需要了解过多的背景知识而冲淡对函数概念的学习。而且重要的是，这样的三个问题包括了不同的函数表现形式，利用它们概括函数概念，就可以消除初中学习中可能存在的一些认识偏差，使学生认识到无论表示形式如何，只要对于每一个x，都有一个y与之对应，就是函数，而这正是函数的本质特征。再如，根据汽车票价制定规则写出票价和里程间的解析式，并利用解析式为售票员制作出我们在汽车上经常看到的“阶梯形票价表”这类问题，贴近学生生活并具有现实的应用价值，能引发学生的兴趣和学习的积极性。2．概念如何展开对于突破函数概念这个难点，可以在整段函数内容的学习中采用显化过程、加强联系的方法。那么具体地，在从三个方向巩固函数概念理解时，如何展开像函数的单调性、二分法这些概念，才能让学生掌握它们，从而达到巩固理解函数概念的目的呢？函数的性质就是研究函数的变化规律，这种规律最直观的获得来自于图象，图象的上升、下降就是单调性。问题在于如何帮助学生从几何直观上升到严格的数学定义。同样地，二分法也需要经历一个由直观认识到数学定义的过程。为此，就需要将直观到严格数学定义的过程划分成几个层次，为学生搭建认识的台阶，使他们逐步地获得概念。比如，介绍函数单调性时，首先给出一次函数和二次函数的图象，观察它们的图象特征，即上升或下降；然后用问题“如何描述函数图象的‘上升’‘下降’呢”引导学生用自然语言描述出图象特征；最后思考“如何利用解析式f(x)=x2描述‘随着x的增大，相应的f(x)随着减小’……”，将自然语言的描述转化成数学符号语言的描述，并一般化得到单调性的数学定义。通过这样的三步，利用数形结合的方法展开单调性的概念，既有助于学生通过自己的努力获得概念，而且也从数和形两个方面理解了概念。3．函数内容中使用信息技术的点及方式在数学课程中使用信息技术已经毋庸置疑，同样地，信息技术的使用也是教材编写中最为关注的问题之一。那么，在函数中有哪些适合使用信息技术的内容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎样的？信息技术具有强大的图象功能、数据处理功能和良好的交互环境，利用这些优势，在函数这部分内容中可以使用信息技术的点主要有：求函数值、做函数图象、研究函数性质、拟和函数等。运用常见的一些软件，如excel、几何画板等就可以轻松地作出函数图象，这在讨论不同函数模型增长差异时发挥很大作用，从几幅图就能直观发现增长的差异；运用计算器可以解决二分法中计算量大的问题，从而将更多精力关注到二分法的思想上，认识到函数和方程间的联系；而计算机的交互环境则为学生的自主探究提供了强有力的平台，丰富了学习方式，如讨论指数、对数函数性质时，可以充分演示出图象的动态变化过程，这样就能在变化中寻求“不变性”，发现函数具有的性质。教材编写时一方面在适合使用信息技术的地方给予提示，如“可以用计算机……”等；另一方面通过拓展栏目详细地介绍一些信息技术应用的专题，如“用计算机绘制函数图象”重点介绍使用常用软件做函数图象的方法，“借助信息技术探究指数函数的性质”给出探究的情境，要求学生亲自利用信息技术发现规律，“收集数据并建立函数模型”介绍了如何用信息技术拟合函数，等等。通过这些方式，可以为教师和学生提供使用信息技术的机会和空间。

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这篇作文可以这样写，例如数学函数形成要与历史相结合因为函数概念是数学概念中最重要的概念之一，在数学发展300年来函数概念，无数的数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。所以拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的纵向发展早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。以上就是函数形成与发展史，也是函数形成的重要原因。

关于函数的数学论文800字

I、定义与定义式： /n自变量x和因变量y有如下关系： /ny=kx+b（k，b为常数，k≠0） /n则称y是x的一次函数。 /n特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 /n/nII、一次函数的性质： /ny的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k /n即 △y/△x=k /n/nIII、一次函数的图象及性质： /n1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 /n2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 /n3． k，b与函数图象所在象限。 /n当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； /n当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 /n当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。 /n特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 /n这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 /n/nIV、确定一次函数的表达式： /n已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 /n（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 /n（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： /ny1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。 /n（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 /n（4）最后得到一次函数的表达式。 /n/nV、一次函数在生活中的应用 /当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 /当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

初中到高中学习函数概念的体会　　初中的函数知识从映射开始，一个x值有且只对应一个y值，然后提到了一次函数，直角坐标系，从此又学到一个函数式就有一个函数图象，接著是二次函数、反比例函数，过度到高中时则提出了指数函数，对数函数，幂函数，在高中的课程中函数的增减性、奇偶性是重点， 初中时学函数是从表达式开始的，例如2a-3b这样的式子，因为初中的思维是习惯常量的，所以对这些表达式表现得难以理解，引入等式后，似乎能理解自变量与因变量间的对应关系，特别是以映射的方式。由此根据函数图象可连接到函数上，建立为这么一种关系，有一种直观的感觉。不过到了高中，函数的内容要深多了，提到增减性和奇偶性、最值等概念，当然都有自己的学习方法和理解方式。　　函数概念的发展历程　　函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function"一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。　　直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。　　19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。 数学家与函数　　函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。　　1、函数概念的纵向发展　　1．1 早期函数概念——几何观念下的函数　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。　　1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数　　1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。　　1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数　　1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。　　等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。 1．4 现代函数概念——集合论下的函数　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。　　函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

数学思想是人脑对现 /a>思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物。函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。这是一种考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态过渡到研究变化过程的思想方法。函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。下面简单介绍一下运用函数思想来解决方程、不等式、数列、参数的取值范围等问题。一、运用函数思想求解方程问题 函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。例1 求证：不论 a取什么实数，方程x2 - ( a2 + a ) x + a - 2=0必有两个不相等的实根。分析：此题若用常规解法，求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。若用函数思想去分析题意，设函数f(x)=x2-(a2+a)x+a-2，要证明命题成立，只需证明函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，由于它的开口向上，只要找到一个实数X0，使f(x0)<0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2= - a2-1<0。故函数y=f(x) 的图象与x轴有两个交点，因此命题成立。例2 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根α，β，证明：（I）如果 |α|< 2，|β |< 2，那么2| a |< 4+b且| b | < 4；（II）如果2| a |< 4+b且 | b | < 4，那么|α|< 2，|β| < 2；分析：本题表面上看是方程问题，方程的根的分布与参数a，b之间满足的关系式，如果用纯方程理论处理则十分繁琐；如果用函数思想来分析，将方程根的分布问题转化为函数图像与x轴交点问题，则可抓往本质。解：本题（I）（II）的结果是2 | a | < 4+b｛ <==> α，β ∈(-2，2)| b | < 4可设函数f(x)=x2+ax+b( I )由二次函数的图像知f(2)>0α，β∈(-2，2) ==>｛ f(-2)>0|b|=|α�6�1β|< 44+2a+b>0 2a> - (4+b)==>｛ ==> ｛4-2a+b>0 2a< 4+b==> 2|a| <4+b且|b| < 42 |a| <4+b 4+2a+b>0 f(2)>0(Ⅱ) 如果｛ ==> ｛ ==>｛ 则| b | < 4 4-2a+b>0 f(-2)>0α，β在（-2，2）之内或在（-2，2）之外，若α，β在（-2，2）之外，则 |α�6�1β| = b > 4，这与| b | < 4相矛盾，故α，β∈（-2，2）。二 、运用函数思想证明不等式例3 设 a ， b ， c 均为正数，且a+b>c，a b c求证：----- + ------ > -------1+a 1+b 1+ca b c分析:不等式左右两边，结构相似: -----， ------， -------，因1+a 1+b 1+c此可以联想函数f(x)=x / (1+x) (x>0)的单调性。证明：先证函数f(x)=x / (1+x) (x>0)的单调性。任取x1>0 ， x2>0，不妨设x1 0 ， x2> 0 ∴ 1+ x1 >0 ， 1+ x2 >0又∵x1< x2 ∴x1－ x2< 0x1- x2 ∴------------------- < 0(1+ x1)（1+ x2）即f(x1)c>0 ∴f(a+b)>f(c)a+b c即--------- > ----1+a+b 1+ca b a b a+b∵------ + ------ > ------- + ------- = -------1+a 1+b 1+a+b 1+a+b 1+a+b a b c∴------ + ------ > -------1+a 1+b 1+c例4 已知a、b、x、y都是实数，且a2+b2=1，x2+y2=1，求证：ax+by≤1分析：已知条件中有平方和等于1，可联想正、余弦之间的平方关系，再利用函数的有界性进行证明。证明：∵a2 + b2 = 1 ， x2 + y2 = 1∴可设a=sinα， b=cosα， x=sinβ， y=cosβ则有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α－β)≤1∴ax+by≤1三、运用函数思想解数列问题数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1，｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。例5 在等差数列中，前n项为Sn，已知Sp = q ， Sq =p( p、q∈ N*且p≠q)，求Sp+q分析：本题的常规解法是用求和公式建立方程组，求出a1和 d，进而求出Sp+q，但计算十分繁琐。若考虑到等差数列的前n项和是关于n的二次函数，且无常数项。故可考虑建立目标函数Sn=an2+bn(a，b为待定系数)，可优化解题过程。解：设Sn=an2 + bn (a，b为待定系数)则Sp=ap2+bp ∴ap2+bp=q (1)Sq=aq2+bq ∴aq2+bq=p (2)(1) - (2)整理得（p－q)[a (p+q) + b)]=－(p－q )∵p≠q ∴p－q≠0 ∴a(p+q)+b= -1又∵Sp+q=a ( p + q )2 + b ( p + q ) = ( p + q ) [ a ( p+q ) + b ]= - (p+q)∴Sp+q= - (p+q)四、运用函数思想求参数（或变量）的范围（一）构造一次函数求参数的范围例6 若不等式2x-1>m(x2-1)对 |m|≤2的所有m均成立，求x的取值范围。解：构造关于m的一次函数f(m)=(x2-1)m - 2x+1，则由f(m)<0对m∈[-2，2]恒成立，得f(-2)<0 2x2+2x-3>0 √7 - 1 √3 + 1{ ＝> { ＝> ------------ < x < ----------f(2)<0 2x2-2x-1<0 2 2√7 - 1 √3 + 1∴x的取值范围是（---------- ，----------- ）2 2(二 )构造二次函数求变量的范围例7 已知实数a ， b ， c ， d ， 满足a+b+c+d=5，a2+b2+c2+d2=7，求a的取值范围。解：构造关于x的二次函数f(x)=(x - b)2+(x - c)2+(x - d)2=3 x2 - 2(b + c + d) x+(b2 + c2 + d2)∵f(x)≥0 ∴△≤0即4(b + c + d)2-12(b 2+ c2 + d2)≤0亦即 4（ 5 - a）2 - 12(7 - a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范围为[1/2，2] 这个 开头的话 和中间一些还是不错的啦 具体自己组织下~ 1、坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此判断平面直角坐标系中的一个点是否在函数图象上，只需把点的坐标代入函数解析式进行检验，能满足函数解析式的表明点在图象上，不满足函数解析式的则表明点不在图象上。2、求两个函数的交点坐标，即求这两个函数解析式组成的二元方程组的解。3、在解决有关函数的问题时，要注意利用平面直角坐标系中X轴与Y轴之间的夹角为直角、以及勾股定理等平面几何知识，要能很熟练地求出函数与坐标轴的交点坐标。5、根据函数的概念、性质以及它们的图象，进行形与数、形与方程、形与不等式之间的相互转换，是解决函数问题的重要方法。 函数概念在数学中占有重要的地位。它在整个中学函数教学的这条主线上，起到承前启后的关键作用。函数概念以及它的思想方法成为中学数学教学的主线之一，函数概念的学习，是学生对现实世界中具体的数量关系的认识向抽象的数量关系的认识的一个飞跃。然而由于函数概念的复杂性，使它成为初中教学的一个难点。本文在前人的研究基础上，从函数的概念出发，通过问卷调查和个案访谈，从函数概念的定义、表示方法和应用三个角度调查了本人所在的中学的初中学生对函数概念的理解，并将此结果加以对比分析，得出以下结论:初中学生对函数概念本质的理解不深刻，不能全面认识自变量x与因变量y之间的关系，这与在新课程标准要求下对学生进行训练的重点有关。学生对图形和图表表征的函数的识别发展显著落后于对解析式表征的函数的识别。初中学生对函数概念的应用能力较低。初中学生在函数的认知发展水平方面存在差异，但总体没有明显差异:(1)在运用解析式来描述函数概念方面的能力，初三学生强于初二学生;(2)对于图表和图像法的运用方面，初二学生强于初三学生。本文对研究结果进行深入分析，结合教学实际，对初中现阶段的函数概念教学提出以下改进措施:(1)加强对函数概念的本质认识;(2)加强函数表示形式间的转换;(3)关注日常生活中的函数模型。 这些也可以用下的~

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这篇作文可以这样写，例如数学函数形成要与历史相结合因为函数概念是数学概念中最重要的概念之一，在数学发展300年来函数概念，无数的数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。所以拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的纵向发展早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。以上就是函数形成与发展史，也是函数形成的重要原因。

高中数学函数论文800字

数学思想是人脑对现 /a>思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物。函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。这是一种考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态过渡到研究变化过程的思想方法。函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。下面简单介绍一下运用函数思想来解决方程、不等式、数列、参数的取值范围等问题。一、运用函数思想求解方程问题 函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。例1 求证：不论 a取什么实数，方程x2 - ( a2 + a ) x + a - 2=0必有两个不相等的实根。分析：此题若用常规解法，求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。若用函数思想去分析题意，设函数f(x)=x2-(a2+a)x+a-2，要证明命题成立，只需证明函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，由于它的开口向上，只要找到一个实数X0，使f(x0)<0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2= - a2-1<0。故函数y=f(x) 的图象与x轴有两个交点，因此命题成立。例2 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根α，β，证明：（I）如果 |α|< 2，|β |< 2，那么2| a |< 4+b且| b | < 4；（II）如果2| a |< 4+b且 | b | < 4，那么|α|< 2，|β| < 2；分析：本题表面上看是方程问题，方程的根的分布与参数a，b之间满足的关系式，如果用纯方程理论处理则十分繁琐；如果用函数思想来分析，将方程根的分布问题转化为函数图像与x轴交点问题，则可抓往本质。解：本题（I）（II）的结果是2 | a | < 4+b｛ <==> α，β ∈(-2，2)| b | < 4可设函数f(x)=x2+ax+b( I )由二次函数的图像知f(2)>0α，β∈(-2，2) ==>｛ f(-2)>0|b|=|α�6�1β|< 44+2a+b>0 2a> - (4+b)==>｛ ==> ｛4-2a+b>0 2a< 4+b==> 2|a| <4+b且|b| < 42 |a| <4+b 4+2a+b>0 f(2)>0(Ⅱ) 如果｛ ==> ｛ ==>｛ 则| b | < 4 4-2a+b>0 f(-2)>0α，β在（-2，2）之内或在（-2，2）之外，若α，β在（-2，2）之外，则 |α�6�1β| = b > 4，这与| b | < 4相矛盾，故α，β∈（-2，2）。二 、运用函数思想证明不等式例3 设 a ， b ， c 均为正数，且a+b>c，a b c求证：----- + ------ > -------1+a 1+b 1+ca b c分析:不等式左右两边，结构相似: -----， ------， -------，因1+a 1+b 1+c此可以联想函数f(x)=x / (1+x) (x>0)的单调性。证明：先证函数f(x)=x / (1+x) (x>0)的单调性。任取x1>0 ， x2>0，不妨设x1 0 ， x2> 0 ∴ 1+ x1 >0 ， 1+ x2 >0又∵x1< x2 ∴x1－ x2< 0x1- x2 ∴------------------- < 0(1+ x1)（1+ x2）即f(x1)c>0 ∴f(a+b)>f(c)a+b c即--------- > ----1+a+b 1+ca b a b a+b∵------ + ------ > ------- + ------- = -------1+a 1+b 1+a+b 1+a+b 1+a+b a b c∴------ + ------ > -------1+a 1+b 1+c例4 已知a、b、x、y都是实数，且a2+b2=1，x2+y2=1，求证：ax+by≤1分析：已知条件中有平方和等于1，可联想正、余弦之间的平方关系，再利用函数的有界性进行证明。证明：∵a2 + b2 = 1 ， x2 + y2 = 1∴可设a=sinα， b=cosα， x=sinβ， y=cosβ则有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α－β)≤1∴ax+by≤1三、运用函数思想解数列问题数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1，｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。例5 在等差数列中，前n项为Sn，已知Sp = q ， Sq =p( p、q∈ N*且p≠q)，求Sp+q分析：本题的常规解法是用求和公式建立方程组，求出a1和 d，进而求出Sp+q，但计算十分繁琐。若考虑到等差数列的前n项和是关于n的二次函数，且无常数项。故可考虑建立目标函数Sn=an2+bn(a，b为待定系数)，可优化解题过程。解：设Sn=an2 + bn (a，b为待定系数)则Sp=ap2+bp ∴ap2+bp=q (1)Sq=aq2+bq ∴aq2+bq=p (2)(1) - (2)整理得（p－q)[a (p+q) + b)]=－(p－q )∵p≠q ∴p－q≠0 ∴a(p+q)+b= -1又∵Sp+q=a ( p + q )2 + b ( p + q ) = ( p + q ) [ a ( p+q ) + b ]= - (p+q)∴Sp+q= - (p+q)四、运用函数思想求参数（或变量）的范围（一）构造一次函数求参数的范围例6 若不等式2x-1>m(x2-1)对 |m|≤2的所有m均成立，求x的取值范围。解：构造关于m的一次函数f(m)=(x2-1)m - 2x+1，则由f(m)<0对m∈[-2，2]恒成立，得f(-2)<0 2x2+2x-3>0 √7 - 1 √3 + 1{ ＝> { ＝> ------------ < x < ----------f(2)<0 2x2-2x-1<0 2 2√7 - 1 √3 + 1∴x的取值范围是（---------- ，----------- ）2 2(二 )构造二次函数求变量的范围例7 已知实数a ， b ， c ， d ， 满足a+b+c+d=5，a2+b2+c2+d2=7，求a的取值范围。解：构造关于x的二次函数f(x)=(x - b)2+(x - c)2+(x - d)2=3 x2 - 2(b + c + d) x+(b2 + c2 + d2)∵f(x)≥0 ∴△≤0即4(b + c + d)2-12(b 2+ c2 + d2)≤0亦即 4（ 5 - a）2 - 12(7 - a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范围为[1/2，2] 这个 开头的话 和中间一些还是不错的啦 具体自己组织下~ 1、坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此判断平面直角坐标系中的一个点是否在函数图象上，只需把点的坐标代入函数解析式进行检验，能满足函数解析式的表明点在图象上，不满足函数解析式的则表明点不在图象上。2、求两个函数的交点坐标，即求这两个函数解析式组成的二元方程组的解。3、在解决有关函数的问题时，要注意利用平面直角坐标系中X轴与Y轴之间的夹角为直角、以及勾股定理等平面几何知识，要能很熟练地求出函数与坐标轴的交点坐标。5、根据函数的概念、性质以及它们的图象，进行形与数、形与方程、形与不等式之间的相互转换，是解决函数问题的重要方法。 函数概念在数学中占有重要的地位。它在整个中学函数教学的这条主线上，起到承前启后的关键作用。函数概念以及它的思想方法成为中学数学教学的主线之一，函数概念的学习，是学生对现实世界中具体的数量关系的认识向抽象的数量关系的认识的一个飞跃。然而由于函数概念的复杂性，使它成为初中教学的一个难点。本文在前人的研究基础上，从函数的概念出发，通过问卷调查和个案访谈，从函数概念的定义、表示方法和应用三个角度调查了本人所在的中学的初中学生对函数概念的理解，并将此结果加以对比分析，得出以下结论:初中学生对函数概念本质的理解不深刻，不能全面认识自变量x与因变量y之间的关系，这与在新课程标准要求下对学生进行训练的重点有关。学生对图形和图表表征的函数的识别发展显著落后于对解析式表征的函数的识别。初中学生对函数概念的应用能力较低。初中学生在函数的认知发展水平方面存在差异，但总体没有明显差异:(1)在运用解析式来描述函数概念方面的能力，初三学生强于初二学生;(2)对于图表和图像法的运用方面，初二学生强于初三学生。本文对研究结果进行深入分析，结合教学实际，对初中现阶段的函数概念教学提出以下改进措施:(1)加强对函数概念的本质认识;(2)加强函数表示形式间的转换;(3)关注日常生活中的函数模型。 这些也可以用下的~

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。重点使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。难点借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

摘要: 在历届高考试题解析与应注意的问题中，一元二次函数占有重要的地位，不管在代数中，解析几何中，利用此函数的机会特别多，同时各种数学思想如函数的 /html/shuxue/20090314/html