高代代数论文题目

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为了要求题目新颖，现在的中学数学中很多都是取自大学的某些结论。与大学不同的是大学要做的是完整，严谨的论证这些结论，而中学的题目是证明结论中部分简单的结论或者给出一些半成的结论去证明。你可以去查查近些年的新颖高考题，看看哪些是取自高等代数的某些结论，整理，总结。总的来说你的你的这个论文题目还是可以去写写自己的东西的。

数学学业论文题目高等代数

数学论文分两种,一种称为纯数学论文,另一种为数学教学论文。很多从事数学教育工作者很难拥有大量时间从事纯数学研究,而职称聘任制又需要公开发表论文,这样一来很多人将自己工作经验加以总结转而写一些数学教研论文。数学教研论文是对课程论,教学法,教育思想,教材及教育对象心理加以研究。但无论哪一种数学论文都要遵从论文格式及写作规律。1撰写数学论文应具有原则创新性作为发表研究结果的一种文体,应反映作者本人所提供的新的事实,新的方法,新的见解。论文选题不新颖,实验没有值的报道的成果,即使有高超写作技巧,也不可能妙笔生花,硬写出新东西来。基础性研究最忌低水平重复,如受试对象,处理因素,观测指标,结果与前人雷同,毫无新意,这样论文不值得发表。科学性科技论文的生命在于它的科学性。没有科学性论文毫无价值,而且可能把别人引入歧途,造成有害结果。撰写论文应具备:(1)反映事实的真实性；(2)选题材料的客观性；(3)分析判定的合理性；(4)语言表达的准确性。规范性规范性是论文在表现形式上的重要特点。科技论文已形成一种相对固定的论文格式,大体上由文题,一般不超过20字；摘要(应用的方法,得到的结果,具有意义等)；索引关键词；引言；研究方法,讨论,结果等部分组成。这种规范化的程序是无数科学家经验总结。它的优越性在于:(1)符合认识规律；(2)简洁明快,较少篇幅容纳较多信息；(3)方便读者阅读。2撰写数学论文忌讳大题小作论文不是书,如论文题目选的过大,那么泛论,浅论就在所难免。数学教育论文基本特征:有数学内容,讲数学教育问题,具有论文形态,不贪大,不求空,具有新见解。这样作者应将课题选的小一些,写出特色。关门写稿一本学术杂志中的论文,单独拿出来看自然是独立完整的。就杂志的整个体系来看就会有一些联系,它们或是构成一个小专题或是使讨论不断深入。这样作者就要对你准备投稿刊物有所了解,以免无的放矢。不能缺乏事实凭空捏造,夸大结论。首先应该知道别人做了些什么,写了些什么,避免在自己的论文中重复。同时可以借鉴别人成果,在他人研究成果基础上进一步研究,避免做无用功。形式思维混乱科学发展到今天,科技论文的基本格式在世界范围内已趋向统一。论文要求规范化,标准化。有的论文东拼西抄,前后矛盾,这样的论文很难教人读懂。所以撰写论文应遵守形式逻辑基本规律,正确使用逻辑推理方法尤为重要。3关于数学论文选题数学论文选题是找“热门”还是“冷门”?“热门”课题从事研究的人员众多,发展迅速。如果作者所在单位基础雄厚,在这个领域占有相当地位,当然要从这一领域深入研究或向相关领域扩展。如果自己在这方面基础差,起步晚又没有找到新的突破,就不宜跟在别人后面搞低水平重复。选择“冷门”,知识的空白处及学科交叉点为研究目标为较好的选择。无论选“冷门”还是“热门”,选题应遵循以下原则:(1)需要性选题应从社会需要和科学发展的需要出发。(2)创新性选题应是国内外还没有人研究过或是没有充分研究过的问题。(3)科学性选题应有最基本的科学事实作依据。(4)可行性选题应充分考虑从事研究的主客观条件,研究方案切实可行。4关于数学论文文风语言表达确切从选词,造句,段落,篇章,标点符号都应正确无误。语言表达清晰简洁语句通顺,脉络清楚,行文流畅,语言简洁。语言朴实语言朴实无华是科技论文本色。对于科学问题阐述无须华丽词藻也不必夸张修饰。总之撰写论文应有感而写,有为而写,有目的而写。借鉴他人成果,博采众长,涉足实践,提炼新意,在你的论文中拿出你的真实感受,不简单重复别人的观点,这样的论文才可能发表,并为广大读者接受。

关于高等代数的论文题目

大学数学论文范文

导语：无论是在学校还是在社会中，大家都写过论文，肯定对各类论文都很熟悉吧，论文是探讨问题进行学术研究的一种手段。怎么写论文才能避免踩雷呢？以下是我收集整理的论文，希望对大家有所帮助。

论文题目：大学代数知识在互联网络中的应用

摘要：代数方面的知识是数学工作者的必备基础。本文通过讨论大学代数知识在互联网络对称性研究中的应用，提出大学数学专业学生检验自己对已学代数知识的掌握程度的一种新思路，即思考一些比较前沿的数学问题。

关键词：代数；对称；自同构

一、引言与基本概念

《高等代数》和《近世代数》是大学数学专业有关代数方面的两门重要课程。前者是大学数学各个专业最重要的主干基础课程之一，后者既是对前者的继续和深入，也是代数方面研究生课程的重要先修课程之一。这两门课程概念众多，内容高度抽象，是数学专业学生公认的难学课程。甚至，很多学生修完《高等代数》之后，就放弃了继续学习《近世代数》。即使对于那些坚持认真学完这两门课程的学生来讲，也未必能做到“不仅知其然，还知其所以然”，而要做到“知其所以然，还要知其不得不然”就更是难上加难了。众所周知，学习数学，不仅逻辑上要搞懂，还要做到真正掌握，学以致用，也就是“学到手”。当然，做课后习题和考试是检验是否学会的一个重要手段。然而，利用所学知识独立地去解决一些比较前沿的数学问题，也是检验我们对于知识理解和掌握程度的一个重要方法。这样做，不仅有助于巩固和加深对所学知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和自学能力。笔者结合自己所从事的教学和科研工作，在这方面做了一些尝试。

互连网络的拓扑结构可以用图来表示。为了提高网络性能，考虑到高对称性图具有许多优良的性质，数学与计算机科学工作者通常建议使用具有高对称性的图来做互联网络的模型。事实上，许多著名的网络，如：超立方体网络、折叠立方体网络、交错群图网络等都具有很强的对称性。而且这些网络的构造都是基于一个重要的代数结构即“群”。它们的对称性也是通过其自同构群在其各个对象(如：顶点集合、边集合等)上作用的传递性来描述的。

下面介绍一些相关的概念。一个图G是一个二元组(V，E)，其中V是一个有限集合，E为由V的若干二元子集组成的集合。称V为G的顶点集合，E为G的边集合。E中的每个二元子集{u，v}称为是图G的连接顶点u与v的一条边。图G的一个自同构f是G的顶点集合V上的一个一一映射(即置换)，使得{u，v}为G的边当且仅当{uf，vf}也为G的边。图G的全体自同构依映射的合成构成一个群，称为G的全自同构群，记作Aut(G)。图G称为是顶点对称的，如对于G的任意两个顶点u与v，存在G的自同构f使得uf=v。图G称为是边对称的，如对于G的任意两条边{u，v}和{x，y}，存在G的自同构f使得{uf，vf}={x，y}。

设n为正整数，令Z2n为有限域Z2={0，1}上的n维线性空间。由《近世代数》知识可知，Z2n的加法群是一个初等交换2群。在Z2n中取出如下n个单位向量：

e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，en=(0，…，0，1)。

●n维超立方体网络(记作Qn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei，其中1≤i≤n。

●n维折叠立方体网络(记作FQn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)或者v-u=e1+…+en。

●n维交错群图网络(记作AGn)是一个以n级交错群An为顶点集合的图，对于AGn的任意两个顶点u和v，{u，v}是AGn的一条边当且仅当vu-1=ai或ai-1，这里3≤i≤n，ai=(1，2，i)为一个3轮换。

一个自然的问题是：这三类网络是否是顶点对称的?是否边对称的?但值得我们注意的是，这些问题都可以利用大学所学的代数知识得到完全解决。

二、三类网络的对称性

先来看n维超立方体网络的对称性。

定理一：n维超立方体网络Qn是顶点和边对称的。

证明：对于Z2n中的任一向量x=(x1，…，xn)，如下定义V(Qn)=Z2n上面的一个映射：f(x)：u→u+x，u取遍V(Qn)中所有元素。容易验证f(x)是一个1-1映射。(注：这个映射在《高等代数》中已学过，即所谓的平移映射。)而{u，v}是Qn的一条边，当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)，当且仅当vf(x)-uf(x)=ei(1≤i≤n)，当且仅当{v(fx)，u(fx)}是Qn的一条边。所以，f(x)也是Qn的一个自同构。这样，任取V(Qn)中两个顶点u和v，则uf(v-u)=v。从而说明Qn是顶点对称的。

下面证明Qn是边对称的。只需证明：对于Qn的任一条边{u，v}，都存在Qn的自同构g使得{ug，vg}={0，e1}，其中0为Z2n中的零向量。事实上，{uf(-u)，vf(-u)}={0，v-u}，其中v-u=ei(1≤i≤n)。显然，e1，…，ei-1，ei，ei+1，…，en和ei，…，ei-1，e1，ei+1，…，en是Z2n的两组基向量。由《高等代数》知识可知存在Z2n上的可逆线性变换t使得t对换e1和ei而不动其余向量。此时易见，若{a，b}是Qn的一条边，则a-b=ej(1≤j≤n)。若j=1，则at-bt=ei；若j=i，则at-bt=e1；若j≠1，i，则at-bt=ej；所以{at，bt}也是Qn的一条边。由定义可知，t是Qn的一个自同构。进一步，{0t，(v-u)t}={0，e1}，即{uf(-u)t，vf(-u)t}={0，e1}。结论得证。

利用和定理一相似的办法，我们进一步可以得到如下定理。

定理二：n维折叠立方体网络FQn是顶点和边对称的。

最后，来决定n维交错群图网络的对称性。

定理三：n维交错群图网络AGn是顶点和边对称的。

证明：首先，来证明AGn是顶点对称的。给定An中的一个元素g，如下定义一个映射：R(g)：x→xg，其中x取遍An中所有元素。容易验证R(g)为AGn顶点集合上上的一个1-1映射。(注：这个映射在有限群论中是一个十分重要的'映射，即所谓的右乘变换。)设{u，v}是AGn的一条边，则vu-1=ai或ai-1，这里1≤i≤n。易见，(vg)(ug)-1=vu-1。所以，{vR(g)，uR(g)}是AGn的一条边。因此，R(g)是AGn的一个自同构。这样，对于AGn的任意两个顶点u和v，有uR(g)=v，这里g=u-1v。这说明AGn是顶点对称的。

下面来证明AGn是边对称的。只需证明对于AGn的任一条边{u，v}，都存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，其中e为An中的单位元。给定对称群Sn中的一个元素g，如下定义一个映射：C(g)：x→g-1xg，其中x取遍An中所有元素。由《近世代数》知识可知，交错群An是对称群Sn的正规子群。容易验证C(g)是AGn的顶点集合上的一个1-1映射。(注：这个映射其实就是把An中任一元素x变为它在g下的共轭。这也是有限群论中一个十分常用的映射。)令x=(1，2)，y(j)=(3，j)，j=3，…，n。下面证明C(x)和C(y(j))都是AGn的自通构。取{u，v}为AGn的任一条边，则vu-1=ai或ai-1。从而，vC(x)(u-1)C(x)=(x-1vx)(x-1u-1x)=x-(1vu-1)x=ai-1或ai。

因此，{uC(x)，vC(x)}也是AGn的一条边。从而说明C(x)是AGn的自通构。同理，若j=i，有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=a3-1或a3；若j≠i，则有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=ai-1或ai。这说明{uC(y(j))，vC(y(j))}也是AGn的一条边，从而C(y(j))是AGn的自通构。现在，对于AGn的任一条边{u，v}，令g=u-1，则{uR(g)，vR(g)}={e，vu-1}={e，ai}或{e，ai-1}。若i=3，则{e，a3-1}C(x)={e，a3}。而若i≠3，则{e，ai}C(y(j))={e，a3}而{e，ai-1}C(y(j))={e，a3-1}。由此可见，总存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，结论得证。

至此，完全决定了这三类网络的对称性。不难看出，除了必要的图论概念外，我们的证明主要利用了《高等代数》和《近世代数》的知识。做为上述问题的继续和深入，有兴趣的同学还可以考虑以下问题：

1、这些网络是否具有更强的对称性?比如：弧对称性?距离对称性?

2、完全决定这些网络的全自同构群。

实际上，利用与上面证明相同的思路，结合对图的局部结构的分析，利用一些组合技巧，这些问题也可以得到解决。

三、小结

大学所学代数知识在数学领域中的许多学科、乃至其他领域都有重要的应用。笔者认为任课教师可以根据自己所熟悉的科研领域，选取一些与大学代数知识有紧密联系的前沿数学问题，引导一些学有余力的学生开展相关研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的课题组。当然，教师要给予必要的指导，比如讲解相关背景知识、必要的概念和方法等。指导学生从相对简单的问题入手，循序渐进，由易到难，逐步加深对代数学知识的系统理解，积累一些经验，为考虑进一步的问题奠定基础。

结束语

本文所提到的利用《高等代数》和《近世代数》的知识来研究网络的对称性就是笔者在教学工作中曾做过的一些尝试。在该方面，笔者指导完成了由三名大三学生参加的国家级大学生创新实验项目一项。这样以来，学生在学习经典数学知识的同时，也可以思考一些比较前沿的数学问题；学生在巩固已学知识的同时，也可以激发其学习兴趣，训练学生的逻辑思维，培养学生的创新思维，以及独立发现问题和解决问题的能力。

【摘要】

随着数学文化的普及与应用，学术界开始重视对于数学文化的相关内容进行挖掘，这其中数学史在阶段我国大学数学教学之中，具有着重要的意义。从实现大学数学皎月的两种现象进行分析，在揭示数学本质的基础上，着重分析数学史在我国大学数学教育之中的重要作用，强调在数学教学之中利用数学史进行启发式教学活动。本文从数学史的角度，对于大学数学教学进行全面的分析，从中分析出适合我国大学数学教育的主要意义与作用。

【关键词】

数学史；大学数学教育；作用

一、引言

数学史是数学文化的一个重要分支，研究数学教学的重要部分，其主要的研究内容与数学的历史与发展现状，是一门具有多学科背景的综合性学科，其中不仅仅有具体的数学内容，同时也包含着历史学、哲学、宗教、人文社科等多学科内容。这一科目，距今已经有二千年的历史了。其主要的研究内容有以下几个方面：

第一，数学史研究方法论的相关问题；

第二，数学的发展史；

第三，数学史各个分科的历史；

第四，从国别、民族、区域的角度进行比较研究；

第五，不同时期的断代史；

第六、数学内在思想的流变与发展历史；

第七，数学家的相关传记；

第八，数学史研究之中的文献；

第九，数学教育史；

第十，数学在发展之中与其他学科之间的关系。

二、数学史是在大学数学教学之中的作用

数学史作为数学文化的重要分支，对于大学数学教学来说，有着重要的作用。利用数学史进行教学活动，由于激发学生的学习兴趣，锻炼学生的思维习惯，强化数学教学的有效性。

笔者根据自身的教学经验，进行了如下总结：首先，激发学生的学习兴趣，在大学数学的教学之中应用数学史，进行课堂教学互动，可以最大限度的弱化学生在学习之中的困难，将原本枯燥、抽象的数学定义，转变为简单易懂的生动的事例，具有一定的指导意义，也更便于学生理解。

从学生接受性的角度来讲，数学史促进了学生的接受心理，帮助学生对于数学概念形成了自我认知，促进了学生对于知识的透彻掌握，激发了学生兴趣的产生。其次，锻炼学生的创新思维习惯，数学史实际意义上来说，有很多讲授数学家在创新思维研发新的理论的故事，这些故事从很多方面对于当代大学生据有启迪作用。例如数学家哈密顿格拉斯曼以及凯利提出的不同于普通代数的具有某种结构的规律的代数的方法代开了抽象代数的研究时代。用减弱或者勾去普通代数的各种各样的假设，或者将其中一个或者多个假定代之一其他的假定，就有更多的体系可以被研究出来。这种实例，实际上让学生从更为根本的角度对于自己所学的代数的思想进行了了解，对于知识的来龙去脉也有了一定的认识，针对这些过程，学生更容易产生研究新问题的思路与方法。

再次，认识数学在社会生活之中的广泛应用，在以往的大学数学教学之中，数学学科往往是作为一门孤立的学科而存在的，其研究往往是形而上的研究过程，人们对于数学的理解也是枯燥的，是很难真正了解到其内涵的。但是数学史的应用，与其在大学数学教学之中的应用，可以让学生了解到更多的在社会生活之中的数学，在数学的教学之中使得原本枯燥的理论更加贴近生活，更加具有真实性，将原本孤立的学科，拉入到了日常生活之中。从这一点上来说，数学史使得数学更加符合人类科学的特征。

三、数学史在大学数学教学之中的应用

第一，在课堂教学之中融入数学史，以往枯燥的数学课堂教学，学生除了记笔记验算，推导以外，只能听老师讲课，课堂内容显得比较生硬，教师针对数学史的作用，可以在教学之中融入数学史，在教学活动之中将数学家的个人传记等具有生动的故事性的数学史内容，进行讲解，提高学生对于课堂教学的兴趣。例如一元微积分学的相关概念，学生在普通的课堂之中，很难做到真正意义的掌握，而更具教学大纲，多数老师的教学设计是：极限——导数与微分——不定积分——定积分。这种传统的教学方式虽然比较呼和学生的一般认知规律，但是却忽视了其产生与又来，教师在教学之中可穿插的讲授拗断——莱布尼茨公式的又来，将微积分艰难的发展史以故事的形式呈现出来，更加便于学生理解的同时也激发了学生的学习热情。

第二，利用数学方法论进行教学，数学方法论是数学史的之中的有机组成部分，而方法论的探索对于大学数学教学来说，也具有着重要的意义，例如在极限理论的课堂教学来说，除了单纯的对于极限的相关概念进行讲解的基础上，也可以将第二次数学危机以及古希腊善跑英雄阿基里斯永远追不上乌龟等相关故事，融入到课堂之中。这种让学生带着疑问的听课方式，更进一步促进了学生对于教学内容的兴趣，全面的促进了学生在理解之中自然而然的形成了理解极限的形成思想，并逐渐的享受自身与古代数学家的共鸣，从而促进自身对于数学的理解，提高学生的学习兴趣，进一步提高课堂的教学效果。所以，在大学数学课堂教学之中，融入数学史的相关内容，不仅具有积极的促进作用，同时在实践之中，也具有一定的可操作性。这种教学模式与方法对于提高我国大学数学教学的质量有着积极的推动作用，同时也更进一步推动了大学数学教学改革的进行。

作为工科类大学公共课的一种，高等数学在学生思维训练上的培养、训练数学思维等上发挥着重要的做用。进入新世纪后素质教育思想被人们越来越重视，如果还使用传统的教育教学方法，会让学生失去学习高等数学的积极性和兴趣。以现教育技术为基础的数学建模，在实际问题和理论之间架起沟通的桥梁。在实际教学的过程中，高数老师以课后实验着手，在高等数学教学中融入数学建模思想，使用数学建模解决实际问题。

一、高等数学教学的现状

(一)教学观念陈旧化

就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考能力以及逻辑思维能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。作为一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐的失去学习的兴趣和动力。

(二)教学方法传统化

教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接影响着学生的学习成绩。一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的能力进一步下降。这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。

二、建模在高等数学教学中的作用

对学生的想象力、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的过程中，数学建模发挥着重要的作用。最近几年，国内出现很多以数学建模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。虽然国内高等院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。如今，高等院校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体则是高等数学。

高等数学作为工科类学生的一门基础课，由于其必修课的性质，把数学建模引入高等数学课堂中具有较广的影响力。把数学建模思想渗入高等数学教学中，不仅能让数学知识的本来面貌得以还原，更让学生在日常中应用数学知识的能力得到很好的培养。数学建模要求学生在简化、抽象、翻译部分现实世界信息的过程中使用数学的语言以及工具，把内在的联系使用图形、表格等方式表现出来，以便于提升学生的表达能力。在实际的学习数学建模之后，需要检验现实的信息，确定最后的结果是否正确，通过这一过程中的锻炼，学生在分析问题的过程中可以主动地、客观的辩证的运用数学方法，最终得出解决问题的最好方法。因此，在高等数学教学中引入数学建模思想具有重要的意义。

三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体措施

(一)在公式中使用建模思想

在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容之一。为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更容易，还让课堂氛围更活跃。为了让学生对公式中使用建模思想理解的更透彻，老师还应该结合实例开展教学。

(二)讲解习题的时候使用数学模型的方式

课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中怎样使用数学建模。完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

(三)组织学生积极参加数学建模竞赛

一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。在日常生活中使用数学建模解决问题，让学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

四、结束语

高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。

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《线性代数的应用》课程论文论文题目学院___数理学院___________专业___数学教育___________年级班别___、、、、、_______学号___、、、、、_____学生姓名___、、、、、____________学生邮箱___、、、、、@指导教师____、、、、__________________ 2011 年 6 月 20 日浅谈线性代数提要线性代数的研究对象是解线性方程组，不管是线性代数的应用题还是计算题，它最后都是用高等数学的方法研究如何解线性方程组求出得数。线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了理论基础。本文由用初等数学方法解线性方程组的例子，引出线性代数中矩阵、逆矩阵等基本概念，论述了线性代数与线性方程组的内在联系。关键词矩阵增广矩阵线性相关逆矩阵线性代数的应用是研究什么的呢? 简单讲，就是研究找出线性方程组人后如何解线性方程组的。当然, 线性方程组在中学就学过, 比如下面就是一个线性方程组的例子:(X1)C3H8+(X2)O2 =(X3)CO2+(X4)H2O确定X1 X2 X3 X4 ,使两边原子数相等称为配平根据我们所学的化学里面化学式配平知等式两边的不同元素原子数分别相等。得出碳的方程。3X1=X3氢的方程8X1=2X4氧的方程2X2=2X3+X4最后运用代入法求得解。得X1=1 X2=5 X3=3 X4=4 也可以运用线性代数的知识将所有的方程联立得:X1[3;8;0]+x2[0;0;2]=x3[1;0;2]+x4[0;2;1]写成矩阵方程为：[3 0 -1 0;8 0 0 2;0 2 -2 -1][x1; x2 ;x3; x4]=[0;0;0]即AX=0因为|A|不为0所以[x1;x2;x3;x4]=[1;5;3;4]（这里用到了逆矩阵）这就是我们所学的线性代数的应用，其实线性代数的应用就是找出等量关系解线性方程组。而其实, 更多元的线性方程组也是同样的解法.那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢?线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能会多到几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个变元. 因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式是: 那么, 既然变元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用计算机来进行计算. 因此, 如果没有计算机的发展, 线性代数这门课也就没有什么用. 实际上, 线性代数正是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。那么, 为什么解线性方程组的问题在实际的科学技术的研究领域中得到广泛地运用呢?首先，什么叫线性什么叫非线性呢？当一个变量x和另一个变量y成正比关系的时候, 比如说x=ay那么, 称x与y呈线性关系, 因为它们的这个函数关系绘制的图形是一条直线. 当然, 这条直线还穿过原点, 因此称它们是齐次线性关系。不穿过原点的直线也是一种线性关系, 当然就是非齐次的, 比如x=ay+b当然, 在一个系统中有多个变元, 那么线性关系可以描述为a1x1+a2x2+…+anxn=b可见这也是一个线性方程组.那么什么叫做非线性关系呢? 比如下面一些例子:x=ay2 等等都是非线性关系. 当然也有非线性方程组, 比如下面这个方程组: 就是非线性的, 它的一个解是x=1, y=2。那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事, 而并非解非线性方程组是经常的事呢?这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的. 所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的. 在物理学方面, 整个物理世界可以分为机械运动, 电运动, 还有量子力学的运动. 而机械运动的基本方程是牛顿第二定律, 即物体的加速度同它所受到的力成正比, 这是一个基本的线性微分方程. 由此根据不同的力学系统, 又可以构成更为复杂的微分方程.电运动的基本方程是麦克思韦方程组, 这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比, 而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比, 因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组.而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程, 也是线性方程组. 在计算机出现之前, 要解线性微分方程组是非常难的事情, 通常是要努力地找各种函数的原函数, 将一些积分算出来. 因此, 找原函数的技术得到广泛研究. 因为, 一旦找到了原函数, 积分的运算量就没有那么大了. 这就是到今天为止的高等数学教育还残留有过去的传统, 即对各种原函数的求解技巧津津乐道的重要原因. 但是, 实际情况中, 原函数并不总是存在的, 因此总需要数值解. 而在计算机出现之前, 数值解通过人工计算, 是相当耗时费力的.而在计算机被大量使用之后, 情况就出现了改观, 计算机在极短的时间内, 比如在秒的时间, 就可以做成千上万的乘法和加法. 因此, 通过程序来求解线性微分方程组就是常见的事. 而微分方程组在通过计算机程序作数值求解的时候, 实际上是将线性微分方程组化成了有许多变元的线性方程组.而在经济学和会计学方面, 线性方程组也是得到广泛的运用的. 比如上面这个例子实际上是一个经济学的例子, 是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题. 而实际过程如果不是一个庙, 而是一家公司, 这家公司的职员也不是分为两等, 而是许多等, 他们的薪水不同, 消耗的生产或者办公器材的多少也不同, 投资多少也不同, 这样也可以构成大量的线性方程组.那么, 计算机是怎样解线性方程组的呢, 还是用上面这个例子来说明, 即线性方程组是3X1=X3 8X2=2X4 2X2=2X3+X4首先说保存, 计算机保存这个线性方程组, 也就是保存这个方程组中每个变元的系数以及等号右边的常数, 因此也就是要保存阵列3 0 -1 0 8 0 0 -20 2 -2 -1这9个数, 所谓计算解这个线性方程组, 当然也就是要对这个阵列进行处理. 因此, 将这个数的阵列用一个字母B表示, 也就是写成B=[3 0 -1 0;8 0 0 -2;0 2 -2 -1]这在线性代数的术语中叫做矩阵, 在大学的学习中, 用一个字母来表示许多数, 甚至包括成千上万的数, 这种办法是在线性代数的课程中首先遇到的. 而在线性代数以外的课程也沿用这种办法. 比如在计算机的图像处理中, 一个图像由成千上万个象素点构成, 也可以只用一个字母来表示一个图像.上面的矩阵B被称作是线性方程组的增广矩阵, 那么, 给定一个增广矩阵, 也就是给定了一个线性方程组. 而计算机解线性方程组是采用加减法来进行的. 比如说, 上面的[3 0 -1 0;0 2 -2 -1;0 0 3/8]这对应于线性方程组这样, 计算机只要通过将某一行乘某一个数, 或者某一行乘上某一个数加到另一行的这种办法, 经过处理直到右边的两列成为对角线上是1, 其它地方是0, 那么最右边一列就是方程组的解.那么, 线性代数的问题就这么容易解决了么? 没有那么简单。首先是一个线性方程组要有解, 才能够解出解, 而实际过程中建立的线性方程组就有可能出错, 比如会计的帐对不上, 这时候线性方程组就无解, 下面是一个明显的无解方程组的例子: 怎么可能x1+2x2即等于3又等于4呢? 这是矛盾的. 因此, 无解方程组也就是矛盾方程组. 但如果将上面的第2个方程乘上2, 形成这样一个方程组那么就不太容易看出来. 而我们的目的是要通过程序让计算机自动判定方程组有没有解, 那么在成百上千个方程中判定有没有解, 就不是一件容易的事, 就需要研究解的存在性的理论。还有一个愿望就是, 虽然方程组有解, 但希望能够有一个唯一的解, 即得到唯一的结果. 那么通常的经验是, 如果是三元一次线性方程组, 那么至少要有三个线性方程才能得到唯一解, 如是是四元一次线性方程组, 那么至少要有四个线性方程才能得到唯一的解. 一般说来, 如果有n个未知数, 或者称为n个变元, 那么就至少要有n个线性方程才能得到唯一解.但是, 这个说法是不严格的, 比如下面这个方程组这个方程组虽然有解, 但没有唯一解, 原因就是第二个方程可以通过第一个方程乘上2得到, 因此第二个方程是多余的, 是应当扔掉的, 是水货. 因此, 这个方程组的方程数不够, 是指的实实在在的方程数不够. 当然, 这个例子可以一眼就看出来. 可是当计算机在解一个有成千上万变元的线性方程组的时候, 怎么能够判定出来有没有唯一解呢? 比如说, 要解一个500个变元的500个线性方程构成的线性方程组, 但其实其中有100个方程是可以从另400个线性方程推导出来的, 那么就是多余的. 那么也就是说, 这500个线性方程组中, 实实在在的只有400个, 另有100个是水货. 因此, 抽象地说, 如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解, 必须有n个实实在在的方程数. 那么, 一个线性方程组中的实实在在的方程的个数, 即不可以从其它的方程中推导出来的个数, 被称作一个线性方程组的秩, 或者是它的增广矩阵的秩. 那么, 怎样通过一个程序计算出这个秩, 怎样自动地将线性方程组中多余的方程扔掉, 也是线性代数研究的课题.此外, 如果有m个线性方程不能够相互推导出来, 也就是说它们是实实在在的, 这在线性代数的术语中叫做线性无关. 而反之, 如果一组线性方程存在着一些可以从另一些推导出来的情况, 就称作线性相关.那么, 最后的结论就是如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解, 它就必须有n个线性无关的线性方程, 或者说它的秩必须是n.还有一些情况, 比如经常会有一种情况, 就是计算机要反复地解一个线性方程组其中只是等号右边的常数项总变, 而左边的系数都不变, 那么就希望变换成这样: 这样可以减少计算量, 那么, 这就会产生矩阵求逆的问题。由于篇幅有限，本文不再具体论述矩阵求逆的问题。总之，线性代数的研究对象解线性方程组，它是用高等数学的方法研究如何解线性方程组。线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了科学的理论基础。

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