薛定谔论文发表期刊

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背景什么是薛定谔猫？这要从头说起。薛定谔（ dinger ，1887—1961）是奥地利著名物理学家、量子力学的创始人之一，曾获1933年 诺贝尔物理学奖，量子力学是描述原子、电子等微观粒子的理论，它所揭示的微观规律与日常生活中看到的宏观规律很不一样。处于所谓“叠加态”的微观粒子之状态是不确定的。例如，电子可以同时位于几个不同的地点，直到被观察测量（观测）时，才在某处出现。这种事如果发生在宏观世界的日常生活中，就好比：我在家中何处是不确定的，你看我一眼，我就突然现身于某处——客厅、餐厅、厨房、书房或卧室都有可能；在你看我之前，我像云雾般隐身在家中，穿墙透壁到处游荡。这种“魔术”别说常人认为荒谬，物理学家如薛定谔也想不通。于是薛定谔就编出了这个佯谬，以引起注意。果不其然！物理学家争论至今。实验内容把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50%的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》，在论文的第5节，薛定谔描述了那个常被视为恶梦的猫实验：哥本哈根派说，没有测量之前，一个粒子的状态模糊不清，处于各种可能性的混合叠加。比如一个放射性原子，它何时衰变是完全概率性的。只要没有观察，它便处于衰变/不衰变的叠加状态中，只有确实地测量了，它才会随机的选择一种状态而出现。那么让我们把这个原子放在一个不透明的箱子中让它保持这种叠加状态。现在薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置，每当原子衰变而放出一个中子，它就激发一连串连锁反应，最终结果是打破箱子里的一个毒气瓶，而同时在箱子里的还有一只可怜的猫。事情很明显：如果原子衰变了，那么毒气瓶就被打破，猫就被毒死。要是原子没有衰变，那么猫就好好地活着。 这个理想实验的巧妙之处，在于通过“检测器－锤子－毒药瓶”这条因果链，似乎将铀原子的“衰变－未衰变叠加态”与猫的“死－活叠加态”联系在一起，使量子力学的微观不确定性变为宏观不确定性；微观的混沌变为宏观的荒谬——猫要么死了，要么活着，两者必居其一，不可能同时既死又活！难怪英国著名科学家霍金听到薛定谔猫佯谬时说：“我去拿枪来把猫打死！”薛定谔之猫的疑惑如果我们不揭开密室的盖子，根据我们在日常生活中的经验，可以认定，此猫或者死，或者活。这是她的两种本征态。但是，如果我们用薛定谔方程来描述薛定谔猫，则只能说，她处于一种活与不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道此猫是死是活。此时，猫的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。 量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，我们永远也不知道此猫是死是活，她将永远到处于半死不活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活？ 薛定谔挖苦说：按照量子力学的解释，箱中之猫处于“死－活叠加态”——既死了又活着！要等到打开箱子看猫一眼才决定其生死。（请注意！不是发现而是决定，仅仅看一眼就足以致命！）正像哈姆雷特王子所说：“To be or not to be,that was a question."只有当你打开盒子的时候，叠加态突然结束（在数学术语就是“坍缩（collapse）”），哈姆雷特王子的犹豫才终于结束，我们知道了猫的确定态：死，或者活。哥本哈根的几率诠释的优点是：只出现一个结果，这与我们观测到的结果相符合。 但是有一个大的问题：它要求波函数突然坍缩。但物理学中没有一个公式能够描述这种坍缩。尽管如此，长期以来物理学家们出于实用主义的考虑，还是接受了哥本哈根的诠释。付出的代价是：违反了薛定谔方程。这就难怪薛定谔一直耿耿于怀了。自然的推论当它们都被锁在箱子里时，因为我们没有观察，所以那个原子处在衰变/不衰变的叠加状态。因为原子的状态不确定，所以猫的状态也不确定，只有当我们打开箱子察看，事情才最终定论：要么猫躺在箱子里死掉了，要么它活蹦乱跳地“喵呜”直叫。问题是，当我们没有打开箱子之前，这只猫处在什么状态？似乎唯一的可能就是，它和我们的原子一样处在叠加态，这只猫当时陷于一种死/活的混合。 一只猫同时又是死的又是活的？它处在不死不活的叠加态？这未免和常识太过冲突，同时在生物学角度来讲也是奇谈怪论。如果打开箱子出来一只活猫，那么要是它能说话，它会不会描述那种死/活叠加的奇异感受？恐怕不太可能。 换言之，“薛定谔猫”概念的提出是为了解决爱因斯坦的相对论所带来的祖母悖论，即平行宇宙之说。 薛定谔猫佯谬实际上提出了一个十分重要的问题：什么是量子力学的观测？观察或测量都与人的主观有关，而人在箱外，所以必须打开箱子才能决定猫的死活。谁都知道箱中猫的死活是由铀的衰变决定的——衰变前猫是活的，衰变后猫就死了，这与是否有人打开箱子进行观察毫不相干。所以毛病出在观测的主观性上，应该朝这个方向寻根究底。 微观的观测与宏观的观测有所不同。宏观的观测对被观测对象没有什么影响。俗话说：“看一眼总行吧。”意思是对所看之物并无影响，用不着担心。微观的观测对被观测对象有影响，会引起变化。以观测电子为例，要用光照才能看见，光的最小单位光子的能量虽小但不是零，光子照到被观测的电子上，对电子的影响很大。所以，在微观世界中看一眼也会惹祸！ 量子力学认为，观测的结果使得被观测对象的状态改变了：一个确定态从原先不确定的叠加态中蹦了出来。再追究下去，观测无非是观测手段（如光子）与被观测对象（如电子）之间的一种相互作用，这种相互作用并不一定与观测者联系起来，后者可以用检测器之类的仪器代替。经过几十年的探索，物理学家终于认识到：在由叠加态到确定态的转变中，观测曾经扮演的角色应该以相互作用来代替，这样不仅更普遍而且更客观。具体到薛定谔猫佯谬，就能将人的主观因素完全排除——猫的死活不是由人开箱看猫一眼所决定的。 读者会说：“不就是一只假想的猫吗，让霍金开枪打死不就完了。”事情并非那么简单，否则许多物理学大师就不会那么孜孜以求了。薛定谔猫佯谬衍生出更深刻的问题：大量原子、分子所构成的生物与这些微观粒子遵从的量子力学规律之间的关系究竟是什么？这不仅是重要的理论问题，而且具有实际意义。例如，自我意识的机制至今仍然是未解之谜，有人认为可能与量子力学或者更深层次的微观规律有关。再如思维过程中的“顿悟”，会不会与前述之“一个确定态就从原先不确定的叠加态中蹦了出来”有关呢？可能有关的还有：生命的起源、物种的变异、光合作用的机制……如此等等。总之，生命的秘密和思维的奥妙不可能与量子力学的规律无关。这就难怪薛定谔后来转而对生命科学很感兴趣了。1946年他写出了著名的《生命是什么》一书，提出了一些很有创见的观点。遗憾的是，在他有生之年，那可怜的箱中之猫依然生死不明。后续研究物理学是实验科学，一切要由实验来判定。较早的一批关于“薛定谔猫”的实验是将处于叠加态的单个原子或分子从周围环境中孤立起来，然后以可控制的方法使之相互作用，以观察其变化。结果发现，关键在于环境的相互作用，它导致原先的量子叠加态转变为经典的确定态。但是将这些实验对象当作薛定谔猫是一种极度的简化，单个原子或分子与薛定谔猫相去何止十万八千里。 1996年5月，美国科罗拉多州博尔德的国家标准与技术研究所（NIST）的Monroe等人用单个铍离子作成了“薛定谔的猫”并拍下了快照，发现铍离子在第一个空间位置上处于自旋向上的状态，而同时又在第二个空间位置上处于自旋向下的状态，而这两个状态相距80纳米之遥！（1纳米为1米的十亿分之一）——这在原子尺度上是一个巨大的距离。想像这个铍离子是个通灵大师，他在纽约与喜马拉雅同时现身，一个他正从摩天楼顶往下跳伞；而另一个他则正爬上雪山之巅！——量子的这种“化身博士”特点，物理学上称“量子相干性”。在早期的杨氏双缝实验中，单个光粒子即以优美的波粒二象性，轻巧地同时穿过两条狭缝，在观察屏上制造出一幅美丽的明暗相干条纹 薛定谔猫是他在1935年提出的关于量子力学的一个佯谬。这些年来许多物理学家绞尽脑汁，试图解开这个佯谬。显然，既死又活的猫是荒谬的。薛定谔想要借此阐述的物理问题是：宏观世界是否也遵从适用于微观尺度的量子叠加原理。“薛定谔猫”佯谬巧妙地把微观放射源和宏观的猫联系起来，旨在否定宏观世界存在量子叠加态。然而随着量子力学的发展，直到最近经过一系列精巧的实验，这个问题才逐渐有了眉目。2000年7月，《自然》报道了最新的实验结果。这次《自然》报道的实验与上述那些实验不同。纽约州立大学石溪分校弗里德曼（J. R. Friedman）等人拿来做实验的“薛定谔猫”不是单个粒子，而是在接近绝对零度的超导体环形电路中由几十亿对电子构成的超导流。 美国国家标准和技术研究所的莱布弗里特等人在最新一期《自然》杂志上称，他们已实现拥有粒子较多而且持续时间最长的“薛定谔猫”态。实验中，研究人员将铍离子每隔若干微米“固定”在电磁场阱中，然后用激光使铍离子冷却到接近绝对零度，并分三步操纵这些离子的运动。为了让尽可能多的粒子在尽可能长的时间里实现“薛定谔猫”态，研究人员一方面提高激光的冷却效率，另一方面使电磁场阱尽可能多地吸收离子振动发出的热量。最终，他们使6个铍离子在50微秒内同时顺时针自旋和逆时针自旋，实现了两种相反量子态的等量叠加纠缠，也就是“薛定谔猫”态。 实验证明，这种由大量粒子构成的宏观量子系统也可以处于叠加态——相当于薛定谔猫的“死－活叠加态”。几十亿对电子构成的超导流当然还不能与几亿亿亿个原子构成的猫相比，但较之单个原子分子毕竟前进了一大步。所以有人惊呼：“薛定谔猫变胖了！” 奥地利因斯布鲁克大学的研究人员也在同期《自然》杂志上报告说，他们在8个离子的系统中实现了“薛定谔猫”态，但维持时间稍短。 科学家称，“薛定谔猫”态不仅具有理论研究意义，也有实际应用的潜力。比如，多粒子的“薛定谔猫”态系统可以作为未来高容错量子计算机的核心部件，也可以用来制造极其灵敏的传感器以及原子钟、干涉仪等精密测量装备。 下一步是否拿一只真的猫来做实验呢？不可能！首先是无法将之与周围环境隔离——置于真空中的猫马上会死掉。其次，与接近绝对零度的超导流不同，常温下的猫根本不是宏观量子系统，何来叠加态？而且也没有必要做这样的实验，物理学家根据现有的实验结果，对薛定谔猫为什么不可能有“死－活叠加态”已能作出符合量子力学的解释。

我认为猫不存在不死不活的状态，猫只有被毒死和无毒而活两种情况。所谓的不死不活只是人在不打开箱子时的一种主观的不确定性，因为人不知猫是死是活。这并不能决定或改变箱子里的猫死或活的客观事实。以人主观上的不知猫的死活而得出猫处于不死不活的叠加态的客观事实，不妥。

为什么要研究那个变态的理论==在这个理论里面，存在三个主体。一，实验者，你，二，实验对象，猫，三，客观因素，假设是我（取代原子衰变）。现在我有一个盒子，里面装了一只猫，我让你猜那只猫是活的是死的，你猜活的，我就弄死那只猫，你猜是死的，我就让那猫活着出来，当然可以是你认为那只猫是活的，我就让那猫活，你认为那只猫是死的，我就弄死它，而且，这猫也可能不受我影响，突然死了，或者怎么弄也不死。在猫没有从盒子里面拿出来的时候，我们了解到的是，放进盒子的时候，猫是活着的。而把猫拿出来之后，我们也可以确切的知道，猫活着，或者死了这两种结果。可是猫在盒子中的时候，因为你的不确定，还存在我的潜在影响，还有猫自身的未知，整体来说，那只命悬一线的猫，就是一个实验牺牲品，实验不结束，它就可以一直活着，可是实验如果需要结束了，它到底是活着还是死了，就不好说了。所以，在你举例的时候，你考虑到，我手里有一个硬币，让你猜，是有，还是没有，你说你是不确定的，可是你没有考虑到，我可能会根据你的判断，作弊。你可以想象一下，让你猜硬币的人，是刘谦，他在你面前将一枚硬币，放在手里面，然后让你猜，硬币还在不在。首先确定的是，硬币是在你眼前放在他手里面的，在放置的一瞬间，硬币是存在的。可是他把手打开的时候，结果可存在，也可能消失，可能跟你预测的结果，一样，也可能正好相反。薛定谔的猫，是一场允许出千的博弈。而且薛定谔的猫，一般都很强调活体样本的。比如实验题是猫，而不是说。某一个化学反应，如果条件充足，他就能够成功，如果条件不充足，就不能成功，可是在一个潜在条件充足可能性的环境下，我们并不能确切的预见到实验是否成功，我们之知道，实验对象在放置进入那个环境的放置时，他还是他本身，不明确他是不是会随着实验的成功或者失败，状态有所改变。薛定谔的猫，是很强调那只猫的==薛定谔是个大变态，哼。

✨编者按：针对于目前大量的灵修，宗教以及商家，偷换量子理论的概念，以达到其目的，特转发张天荣老师的科普系列文章《走进量子纠缠》。本科普系列是想尽量使用通俗的语言，向公众介绍神秘奇妙的‘量子纠缠’。—— 小义子

要认识神秘的量子纠缠，首先要认识神秘的量子现象。

不管是学哪个行业的，大概都听说过奇妙的量子现象。诸如测不准原理啦，薛定谔的猫之类的，在日常生活中看起来匪夷所思的现象，却是千真万确存在于微观的量子世界中。

许多人将听起来有些诡异的量子理论视为天书，从而敬而远之。有人感叹说：“量子力学，太不可思议了，不懂啊，晕！”

不懂量子力学，听了就晕，那是非常正常的反应。听听诺贝尔物理学奖得主，大物理学家费曼的名言吧。费曼说：“我想我可以有把握地讲，没有人懂量子力学！” 量子论的另一创始人玻尔（Niels Bohr）也说过：“如果谁不为量子论而感到困惑，那他就是没有理解量子论。”既然连费曼和玻尔都这样说，我等就更不敢吹牛了。

因此，我们暂时不要奢望‘懂得’量子力学。此一系列文章的目的是让我们能够多‘了解’、多认识一些量子力学。因为量子力学虽然神秘，却是科学史上最为精确地被实验检验了的理论，量子力学经历了100多年的艰难历史，发展至今，可说是到达了人类智力征程上的最高成就。身为现代人，如果不曾‘了解’一点点量子力学，就如同没有上过因特网，没有写过email一样，可算是人生的一大遗憾啊。

刚才提及量子现象时，说到了‘薛定谔的猫’，我们的讨论可由此开始。

薛定谔（ dinger ，1887—1961）是奥地利著名物理学家、量子力学的创始人之一，曾获1933年诺贝尔物理学奖，量子力学中描述原子、电子等微观粒子运动的薛定谔方程，就是以他而命名的。

那么，首先我们需要了解，什么是‘叠加态’？

根据我们的日常经验，一个物体某一时刻，总会处于某个固定的状态。比如我说：女儿现在‘在’客厅里，或是说：女儿现在‘不在’客厅里。要么在，要么不在，两种状态，必居其一。然而，在微观的量子世界中，情况却有所不同。微观粒子可以处于一种所谓‘叠加态’的状态中，这种状态是不确定的。例如，电子可以同时位于两个不同的地点：A和B，也就是说，电子既在A，又不在A。电子的状态是‘在’和‘不在’，两种状态按一定几率的叠加。电子的这种混合状态，叫做‘叠加态’。

聪明的读者会说：“女儿此刻‘在’或‘不在’客厅，看一眼就清楚了。电子在A，或是不在A，测量一下不就知道了吗？”说得没错，当我们对电子的状态进行‘测量’时，电子的‘叠加态’不复存在，而是‘坍缩’到‘在A’，或是‘不在A’，两个状态的其中之一。但是，微观与宏观之不同，是在于观测之前。女儿在不在客厅，观测之前已成事实，并不以‘看’或‘不看’而转移。而微观电子坍缩前的状态，并无定论，直到测量它，才因坍缩而确定。这是微观世界中量子叠加态的奇妙特点。

尽管量子现象显得如此神秘。然而，量子力学的结论却早已在诸多方面被实验证实，被学术界接受，在各行各业还得到各种应用，量子物理学对我们现代日常生活的影响无比巨大。以其为基础而产生的电子学革命及光学革命将我们带入了如今的计算机信息时代。可以说，没有量子力学，就不会有今天所谓的‘高科技’产业。

如何解释量子力学的基本理论，仍然是见仁见智，莫衷一是。这点也曾经深深地困扰着它的创立者们，包括伟大的爱因斯坦。微观叠加态的特点与宏观规律如此不同，物理学家如薛定谔也想不通。于是，薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》，在论文的第5节，薛定谔编出了一个‘薛定谔猫’的理想实验，试图将微观不确定性变为宏观不确定性，微观的迷惑变为宏观的佯谬，以引起大家的注意。果不其然！物理学家们对此佯谬一直众说纷纭、争论至今。

以下是‘薛定谔猫’的实验描述。

把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个装置，其中包含一个原子核和毒气设施。设想这个原子核有50%的可能性发生衰变。衰变时发射出一个粒子，这个粒子将会触发毒气设施，从而杀死这只猫。根据量子力学的原理，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，因此，那只可怜的猫就应该相应地处于‘死’和‘活’ 的叠加态。非死非活，又死又活，状态不确定，直到有人打开盒子观测它。

实验中的猫，可类比于微观世界的电子（或原子）。在量子理论中，电子可以不处于一个固定的状态（0或1），而是同时处于两种状态的叠加（0和1）。如果把叠加态的概念用于猫的话，那就是说，处于叠加态的猫是半死不活、又死又活的。

量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，薛定谔的猫的状态是‘死’与‘活’的叠加。此猫将永远处于同时是死又是活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违。一只猫，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活呢？别小看这一个听起来似乎荒谬的物理理想实验。它不仅在物理学方面极具意义，在哲学方面也引申了很多的思考。

谈到哲学，聪明的读者又要笑了，因为在古代哲学思想中，不凡这种似是而非、模棱两可的说法。这不就是辩证法的思想吗？你中有我，我中有你，一就是二，二就是一，合二而一，天人合一，等等等等，如此而已。

此话不假，因此才有人如此来比喻‘薛定谔的猫’：男女在开始恋爱前，不知道结果是好或者不好，这时，可以将恋爱结果看成好与不好的混合叠加状态。如果你想知道结果，唯一的方法是去试试看，但是，只要你试过，你就已经改变了原来的结果了！

无论从人文科学的角度，如何来诠释和理解‘薛定谔的猫’，人们仍然觉得量子理论听起来有些诡异。有读者可能会说：“你拉扯了半天，我仍然不懂量子力学啊！”

还好，刚才我们已经给读者打了预防针，不是吗？没有人懂量子力学，包括薛定谔自己在内！薛定谔的本意是要用‘薛定谔猫’这个实验的荒谬结果，来嘲笑哥本哈根学派对量子力学，对薛定谔方程引进的‘波函数’概念的几率解释，但实际上，这个假想实验使薛定谔自己，站到了自己奠基的理论的对立面上，难怪有物理学家调侃地说到薛定谔：“薛定谔不懂薛定谔方程！”

到此为止，我们解释了半天‘薛定谔猫’实验的来龙去脉，却只字未提薛定谔的女朋友之事。再此赶快补上这段八卦，以免使读者大失所望。

薛定谔应该具有超凡的个人魅力，风流倜傥，女友无数。要不然怎么会触动舞台剧编导、纽约剧作家马修韦尔斯的灵感，写出了一部‘薛定谔的女朋友’的舞台剧呢？

以下是这个舞台剧2001-2003年在旧金山和纽约演出时的剧照和海报。

《薛定谔的女朋友》是关于爱，性，和量子物理学的一部另类浪漫喜剧。剧作家马修韦尔斯本人，并没有受过超出高中课程的科学教育，但却痴迷于物理学的神秘。他说：”我永远无法进入数学，但我发现它背后的概念，视觉和类比，是如此地引人入胜！”

舞台剧中有这么一段饶有趣味的话：“到底是波动-粒子的二象性难一点呢，还是老婆-情人的二象性更难？”据说薛定谔有很多情妇，也有不少私生子，身边不乏红颜知己。薛定谔的女友和薛定谔的猫一样不确定，薛定谔的婚姻爱情观和他的物理理论一样，不同凡响。据说，薛定谔是个‘多情种子’类的人物，他的情妇虽然多，但他每爱一个女人时，都是真心实意地。也许我们可以用量子力学的语言来作个比喻：薛定谔的感情和性生活，总是处于一个包括很多本征态的复杂叠加态中。一定时期，叠加态‘坍缩’到某个本征态，薛定谔便投入一个女友的怀抱。

但是，在薛定谔众多女友中，有一位很不一般的神秘女人，正是她，成为了这部舞台剧的女主人公。

在1925年圣诞节前，薛定谔像往年一样，来到美丽的、白雪皑皑的阿尔卑斯山上度假，但这次陪伴他的不是太太安妮，而是一位来自维也纳的神秘女友。薛定谔的这位女友神秘莫测，直到八十多年后的今天，也无人考证出她的身份来历。她不是考证者已知的薛定谔情妇中的任何一位。无论如何，在这对情侣共度佳期的时期内，这位神秘女郎极大地激发了薛定谔的灵感，使得他令人惊异地始终维持着一种极富创造力和洞察力的状态。因此，物理学家们说，薛定谔的伟大工作是在他生命中一段情欲极其旺盛的时期内作出的。薛定谔自己也不否认这点，他认为，通过观看这个引人注目的女人，他找到了困惑科学界波/粒二象性看似矛盾的关键。果然，之后的一年内，薛定谔接连不断地发表了六篇关于量子力学的主要论文，提出了著名的薛定谔方程。因此，在享受量子力学带给我们辉煌灿烂的科技成果的今天，我们也应该感谢这位神秘女郎的贡献。

综上所述，是‘薛定谔的神秘女友’，激发了薛定谔天才的想象力和灵感，使其建立了微观世界中粒子的波函数所遵循的薛定谔方程。然后，薛定谔不同意哥本哈根派对波函数的解释，设计了‘薛定谔的猫’的思想实验。用薛定谔自己的话来说，他要用这个“恶魔般的装置”，让人们闻之色变。薛定谔说：看吧，如果你们将波函数解释成粒子的几率波的话，就会导致一个既死又活的猫的荒谬结论。因此，几率波的说法是站不住脚的！

这只猫的确令人毛骨悚然，相关的争论一直持续到今天。连当今伟大的物理学家霍金也曾经愤愤地说：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就跑去拿枪，想一枪把猫打死！”

在宏观世界中，既死又活的猫不可能存在，但许多许多实验都已经证实了微观世界中叠加态的存在。总之，通过薛定谔的猫，我们认识了叠加态，以及被测量时叠加态的坍缩。

叠加态的存在，是量子力学最大的奥秘，是量子现象给人以神秘感的根源，是我们了解量子力学的关键。

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薛定谔方程的论文

✨编者按：针对于目前大量的灵修，宗教以及商家，偷换量子理论的概念，以达到其目的，特转发张天荣老师的科普系列文章《走进量子纠缠》。本科普系列是想尽量使用通俗的语言，向公众介绍神秘奇妙的‘量子纠缠’。—— 小义子

要认识神秘的量子纠缠，首先要认识神秘的量子现象。

不管是学哪个行业的，大概都听说过奇妙的量子现象。诸如测不准原理啦，薛定谔的猫之类的，在日常生活中看起来匪夷所思的现象，却是千真万确存在于微观的量子世界中。

许多人将听起来有些诡异的量子理论视为天书，从而敬而远之。有人感叹说：“量子力学，太不可思议了，不懂啊，晕！”

不懂量子力学，听了就晕，那是非常正常的反应。听听诺贝尔物理学奖得主，大物理学家费曼的名言吧。费曼说：“我想我可以有把握地讲，没有人懂量子力学！” 量子论的另一创始人玻尔（Niels Bohr）也说过：“如果谁不为量子论而感到困惑，那他就是没有理解量子论。”既然连费曼和玻尔都这样说，我等就更不敢吹牛了。

因此，我们暂时不要奢望‘懂得’量子力学。此一系列文章的目的是让我们能够多‘了解’、多认识一些量子力学。因为量子力学虽然神秘，却是科学史上最为精确地被实验检验了的理论，量子力学经历了100多年的艰难历史，发展至今，可说是到达了人类智力征程上的最高成就。身为现代人，如果不曾‘了解’一点点量子力学，就如同没有上过因特网，没有写过email一样，可算是人生的一大遗憾啊。

刚才提及量子现象时，说到了‘薛定谔的猫’，我们的讨论可由此开始。

薛定谔（ dinger ，1887—1961）是奥地利著名物理学家、量子力学的创始人之一，曾获1933年诺贝尔物理学奖，量子力学中描述原子、电子等微观粒子运动的薛定谔方程，就是以他而命名的。

那么，首先我们需要了解，什么是‘叠加态’？

根据我们的日常经验，一个物体某一时刻，总会处于某个固定的状态。比如我说：女儿现在‘在’客厅里，或是说：女儿现在‘不在’客厅里。要么在，要么不在，两种状态，必居其一。然而，在微观的量子世界中，情况却有所不同。微观粒子可以处于一种所谓‘叠加态’的状态中，这种状态是不确定的。例如，电子可以同时位于两个不同的地点：A和B，也就是说，电子既在A，又不在A。电子的状态是‘在’和‘不在’，两种状态按一定几率的叠加。电子的这种混合状态，叫做‘叠加态’。

聪明的读者会说：“女儿此刻‘在’或‘不在’客厅，看一眼就清楚了。电子在A，或是不在A，测量一下不就知道了吗？”说得没错，当我们对电子的状态进行‘测量’时，电子的‘叠加态’不复存在，而是‘坍缩’到‘在A’，或是‘不在A’，两个状态的其中之一。但是，微观与宏观之不同，是在于观测之前。女儿在不在客厅，观测之前已成事实，并不以‘看’或‘不看’而转移。而微观电子坍缩前的状态，并无定论，直到测量它，才因坍缩而确定。这是微观世界中量子叠加态的奇妙特点。

尽管量子现象显得如此神秘。然而，量子力学的结论却早已在诸多方面被实验证实，被学术界接受，在各行各业还得到各种应用，量子物理学对我们现代日常生活的影响无比巨大。以其为基础而产生的电子学革命及光学革命将我们带入了如今的计算机信息时代。可以说，没有量子力学，就不会有今天所谓的‘高科技’产业。

如何解释量子力学的基本理论，仍然是见仁见智，莫衷一是。这点也曾经深深地困扰着它的创立者们，包括伟大的爱因斯坦。微观叠加态的特点与宏观规律如此不同，物理学家如薛定谔也想不通。于是，薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》，在论文的第5节，薛定谔编出了一个‘薛定谔猫’的理想实验，试图将微观不确定性变为宏观不确定性，微观的迷惑变为宏观的佯谬，以引起大家的注意。果不其然！物理学家们对此佯谬一直众说纷纭、争论至今。

以下是‘薛定谔猫’的实验描述。

把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个装置，其中包含一个原子核和毒气设施。设想这个原子核有50%的可能性发生衰变。衰变时发射出一个粒子，这个粒子将会触发毒气设施，从而杀死这只猫。根据量子力学的原理，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，因此，那只可怜的猫就应该相应地处于‘死’和‘活’ 的叠加态。非死非活，又死又活，状态不确定，直到有人打开盒子观测它。

实验中的猫，可类比于微观世界的电子（或原子）。在量子理论中，电子可以不处于一个固定的状态（0或1），而是同时处于两种状态的叠加（0和1）。如果把叠加态的概念用于猫的话，那就是说，处于叠加态的猫是半死不活、又死又活的。

量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，薛定谔的猫的状态是‘死’与‘活’的叠加。此猫将永远处于同时是死又是活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违。一只猫，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活呢？别小看这一个听起来似乎荒谬的物理理想实验。它不仅在物理学方面极具意义，在哲学方面也引申了很多的思考。

谈到哲学，聪明的读者又要笑了，因为在古代哲学思想中，不凡这种似是而非、模棱两可的说法。这不就是辩证法的思想吗？你中有我，我中有你，一就是二，二就是一，合二而一，天人合一，等等等等，如此而已。

此话不假，因此才有人如此来比喻‘薛定谔的猫’：男女在开始恋爱前，不知道结果是好或者不好，这时，可以将恋爱结果看成好与不好的混合叠加状态。如果你想知道结果，唯一的方法是去试试看，但是，只要你试过，你就已经改变了原来的结果了！

无论从人文科学的角度，如何来诠释和理解‘薛定谔的猫’，人们仍然觉得量子理论听起来有些诡异。有读者可能会说：“你拉扯了半天，我仍然不懂量子力学啊！”

还好，刚才我们已经给读者打了预防针，不是吗？没有人懂量子力学，包括薛定谔自己在内！薛定谔的本意是要用‘薛定谔猫’这个实验的荒谬结果，来嘲笑哥本哈根学派对量子力学，对薛定谔方程引进的‘波函数’概念的几率解释，但实际上，这个假想实验使薛定谔自己，站到了自己奠基的理论的对立面上，难怪有物理学家调侃地说到薛定谔：“薛定谔不懂薛定谔方程！”

到此为止，我们解释了半天‘薛定谔猫’实验的来龙去脉，却只字未提薛定谔的女朋友之事。再此赶快补上这段八卦，以免使读者大失所望。

薛定谔应该具有超凡的个人魅力，风流倜傥，女友无数。要不然怎么会触动舞台剧编导、纽约剧作家马修韦尔斯的灵感，写出了一部‘薛定谔的女朋友’的舞台剧呢？

以下是这个舞台剧2001-2003年在旧金山和纽约演出时的剧照和海报。

《薛定谔的女朋友》是关于爱，性，和量子物理学的一部另类浪漫喜剧。剧作家马修韦尔斯本人，并没有受过超出高中课程的科学教育，但却痴迷于物理学的神秘。他说：”我永远无法进入数学，但我发现它背后的概念，视觉和类比，是如此地引人入胜！”

舞台剧中有这么一段饶有趣味的话：“到底是波动-粒子的二象性难一点呢，还是老婆-情人的二象性更难？”据说薛定谔有很多情妇，也有不少私生子，身边不乏红颜知己。薛定谔的女友和薛定谔的猫一样不确定，薛定谔的婚姻爱情观和他的物理理论一样，不同凡响。据说，薛定谔是个‘多情种子’类的人物，他的情妇虽然多，但他每爱一个女人时，都是真心实意地。也许我们可以用量子力学的语言来作个比喻：薛定谔的感情和性生活，总是处于一个包括很多本征态的复杂叠加态中。一定时期，叠加态‘坍缩’到某个本征态，薛定谔便投入一个女友的怀抱。

但是，在薛定谔众多女友中，有一位很不一般的神秘女人，正是她，成为了这部舞台剧的女主人公。

在1925年圣诞节前，薛定谔像往年一样，来到美丽的、白雪皑皑的阿尔卑斯山上度假，但这次陪伴他的不是太太安妮，而是一位来自维也纳的神秘女友。薛定谔的这位女友神秘莫测，直到八十多年后的今天，也无人考证出她的身份来历。她不是考证者已知的薛定谔情妇中的任何一位。无论如何，在这对情侣共度佳期的时期内，这位神秘女郎极大地激发了薛定谔的灵感，使得他令人惊异地始终维持着一种极富创造力和洞察力的状态。因此，物理学家们说，薛定谔的伟大工作是在他生命中一段情欲极其旺盛的时期内作出的。薛定谔自己也不否认这点，他认为，通过观看这个引人注目的女人，他找到了困惑科学界波/粒二象性看似矛盾的关键。果然，之后的一年内，薛定谔接连不断地发表了六篇关于量子力学的主要论文，提出了著名的薛定谔方程。因此，在享受量子力学带给我们辉煌灿烂的科技成果的今天，我们也应该感谢这位神秘女郎的贡献。

综上所述，是‘薛定谔的神秘女友’，激发了薛定谔天才的想象力和灵感，使其建立了微观世界中粒子的波函数所遵循的薛定谔方程。然后，薛定谔不同意哥本哈根派对波函数的解释，设计了‘薛定谔的猫’的思想实验。用薛定谔自己的话来说，他要用这个“恶魔般的装置”，让人们闻之色变。薛定谔说：看吧，如果你们将波函数解释成粒子的几率波的话，就会导致一个既死又活的猫的荒谬结论。因此，几率波的说法是站不住脚的！

这只猫的确令人毛骨悚然，相关的争论一直持续到今天。连当今伟大的物理学家霍金也曾经愤愤地说：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就跑去拿枪，想一枪把猫打死！”

在宏观世界中，既死又活的猫不可能存在，但许多许多实验都已经证实了微观世界中叠加态的存在。总之，通过薛定谔的猫，我们认识了叠加态，以及被测量时叠加态的坍缩。

叠加态的存在，是量子力学最大的奥秘，是量子现象给人以神秘感的根源，是我们了解量子力学的关键。

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薛定谔方程（Schrödinger equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。

扩展资料：

在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的津津有味。

德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。检试此方程最简单与基本的方法就是，用此方程来描述氢原子内部束缚电子的物理行为，而必能复制出玻尔模型的理论结果，另外，这方程还必须能解释索末菲模型给出的精细结构。

很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。

他只好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论文。

这篇论文迅速在量子学术界引起震撼。普朗克表示“他已阅读完毕整篇论文，就像被一个迷语困惑多时，渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答”。爱因斯坦称赞，这著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才。

爱因斯坦觉得，薛定谔已做出决定性贡献。由于薛定谔所创建的波动力学涉及到众所熟悉的波动概念与数学，而不是矩阵力学中既抽象又陌生的矩阵代数，量子学者都很乐意地开始学习与应用波动力学。自旋的发现者乔治·乌伦贝克惊叹，“薛定谔方程给我们带来极大的解救！”沃尔夫冈·泡利认为，这论文应可算是近期最重要的著作。

薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。

但是薛定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。

参考资料：百度百科 薛定谔方程

薛定谔方程论文开题报告

薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。你去这个看看，里面有说明

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程[1]，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位。 薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。 薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。 薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。 目录 [隐藏] 1 含时薛定谔方程 2 不含时薛定谔方程 3 历史背景与发展 4 含时薛定谔方程导引 启发式导引 假设 波函数以复值平面波来表达波函数 薛定谔的导引 5 特性 线性方程 证明 实值的本征态 么正性 证明 完备基底 6 相对论性薛定谔方程 7 解析方法 8 实例 自由粒子 一维谐振子 球对称位势 角部分解答 径向部分解答 9 参阅 10 参考文献 11 外部链接 [编辑] 含时薛定谔方程 虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。 [编辑] 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想 的函数形式为 ； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为 。 [编辑] 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为一种粒子，称为光子；也就是说，光波具有波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比；也就是说，光波具有波粒二象性。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和 Lester Germer 将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库伦位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了 的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。 [编辑] 含时薛定谔方程导引 [编辑] 启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设： [编辑] 假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成对比： 其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关： ； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 [编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数 1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到 ， 因此 。 并且相同地由于 ， 故 。 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动： 。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程： 。 [编辑] 薛定谔的导引 思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程 ； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分： ； 其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 ； 哈密顿主函数随时间的全导数是 。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为 。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是 。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ： 。 我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数： ； 其中， 是常数， 是相依于位置的系数函数。 代入 的方程， 。 注意到 的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论 ；其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定 ，粒子的波函数 变为 ； 其中， 。 代入波动方程， 。 经过一番运算，得到 。 注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程： 。 [编辑] 特性 [编辑] 线性方程 主条目：态叠加原理 薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与 是某薛定谔方程的解。设定 ， 其中， 与 是任何常数。 则 也是一个解。 [编辑] 证明 根据不含时薛定谔方程 (1) ， ， 。 线性组合这两个方程的解， 。 所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。 [编辑] 实值的本征态 不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的，能量为 的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。 。 对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数 也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。 转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答 。其替代波函数是另外一个解答： 。 这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。 [编辑] 么正性 在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为么正性。薛定谔方程能够自动地维持么正性。用波函数表达， 。(3) 为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程， 与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。设定 ；其中， 是归一常数，使得 。 这样，新波函数 还是这个薛定谔方程的解答，而且， 已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数 相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足么正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持么正性。 [编辑] 证明 总概率随时间的微分表达为 。(4) 思考含时薛定谔方程， 。 其复共轭是 。 所以， 代入方程 (4) ， 在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以， 。 薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。 [编辑] 完备基底 能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。 [编辑] 相对论性薛定谔方程 主条目：相对论量子力学 薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式， ； 其中， 是光速， 是静止质量。 直接地用这关系式来推广薛定谔方程： 。 或者，稍加编排， ； 其中， ， 是达朗贝尔算符。 这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守 ； 其中， 是角频率，可以是正值或负值。 对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。 保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程： ， 其中，是自旋-½ 粒子的质量， 与 分别是空间和时间的坐标。 狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。 假若，一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性 。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为 。当盒子的长度 等于康普顿波长 时，能量的不确定性等于粒子的质能 。当盒子的长度 小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。 [编辑] 解析方法 一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法： 量子微扰理论 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。 变分原理 (variational principle) 。 量子蒙特·卡罗方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。 密度泛函理论。 WKB 近似 (WKB approximation) 与半经典扩展。 对于某些特殊的状况，可以使用特别方法： 有解析解量子系统列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。 哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。 离散 delta 位势方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。 [编辑] 实例 [编辑] 自由粒子 主条目：自由粒子 当位势为 0 时，薛定谔方程为 。 解答是一个平面波： ， 其中， 是波矢量， 是角频率。 代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系： 。 由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数 必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。 在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。： ； 其中，积分的区域是所有的 -空间。 为了简化计算，只思考一维空间， ； 其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅 是线性叠加的系数函数。 逆反过来，系数函数可以表达为 ； 其中， 是波函数在时间 的函数形式。 所以，知道波函数在时间 的形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波函数在任何时间的形式 。 [编辑] 一维谐振子 主条目：量子谐振子 能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (） 。横轴表示位置 。此图未经归一化。在一维谐振子问题中，一个质量为 的粒子，受到一位势 。此粒子的哈密顿算符 为 ； 其中， 为位置。 为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程： 。 我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解： 。 最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) ： 。 相应的能阶为 。 值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是 ，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。 [编辑] 球对称位势 主条目：球对称位势 一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为 ； 其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数， 是位势， 是径向距离， 是能量。 采用球坐标 ，将拉普拉斯算子 展开： 。 满足薛定谔方程的本征函数 的形式为： ， 其中， ， ， ，都是函数。 与 时常会合并为一个函数，称为球谐函数， 。这样，本征函数 的形式变为： 。 [编辑] 角部分解答 相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程 ； 其中，非负整数 是角动量的角量子数。 （满足 ）是角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 与 给予不同的球谐函数解答 ： ； 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为 ； 而 是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为 。 [编辑] 径向部分解答 将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程： 。 设定函数 。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到 。 径向方程变为 ； 其中，有效位势 。 这正是函数为 ，有效位势为 的薛定谔方程。径向距离 的定义域是从 到 。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。 [编辑] 参阅

在1926年1月份的论文中，建立并用经典力学的哈密顿—雅可比方程和变分方法求解了氢原子的定态薛定谔方程、能级公式，用本征值代替了原来的玻尔—索末菲量子化条件，从而把量子化问题归结为本征值问题，这正是薛定谔建立波动力学的一条具有创造性的主线和突破口；在2月份的论文中，他建立并求解了含时薛定谔方程，还通过经典力学与几何光学的类比阐述了波动力学和波函数的意义；5月、6月发表的论文详细叙述了与时间无关的薛定谔微扰理论和含时间的薛定谔微扰理论。

从经典力学是推不出来的， 薛定谔方程是量子力学最基本的方程。 采用费曼的路径积分理论或者海森堡的矩阵力学，那么可以从量子力学导出薛定谔方程的。有时间，我帮你写写。

非线性薛定谔方程毕业论文

非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation )一个含有孤立子波解的非线性方程。它与诸如非线性光学、等离子体的离子声波等理论物理中的许多非线性间题密切相关.它的解可应用与线性薛定愕方程的特征值问题相关的逆散射问题方法求得. 非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation )一个含有孤立子波解的非线性方程.其形如 它与诸如非线性光学、等离子体的离子声波等理论物理中的许多非线性间题密切相关.它的解可应用与线性薛定愕方程的特征值问题相关的逆散射问题方法求得.[1]

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。其仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。薛定谔方程建立于1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，被广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程[1]，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位。 薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。 薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。 薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。 目录 [隐藏] 1 含时薛定谔方程 2 不含时薛定谔方程 3 历史背景与发展 4 含时薛定谔方程导引 启发式导引 假设 波函数以复值平面波来表达波函数 薛定谔的导引 5 特性 线性方程 证明 实值的本征态 么正性 证明 完备基底 6 相对论性薛定谔方程 7 解析方法 8 实例 自由粒子 一维谐振子 球对称位势 角部分解答 径向部分解答 9 参阅 10 参考文献 11 外部链接 [编辑] 含时薛定谔方程 虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。 [编辑] 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想 的函数形式为 ； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为 。 [编辑] 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为一种粒子，称为光子；也就是说，光波具有波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比；也就是说，光波具有波粒二象性。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和 Lester Germer 将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库伦位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了 的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。 [编辑] 含时薛定谔方程导引 [编辑] 启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设： [编辑] 假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成对比： 其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关： ； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 [编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数 1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到 ， 因此 。 并且相同地由于 ， 故 。 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动： 。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程： 。 [编辑] 薛定谔的导引 思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程 ； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分： ； 其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 ； 哈密顿主函数随时间的全导数是 。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为 。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是 。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ： 。 我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数： ； 其中， 是常数， 是相依于位置的系数函数。 代入 的方程， 。 注意到 的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论 ；其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定 ，粒子的波函数 变为 ； 其中， 。 代入波动方程， 。 经过一番运算，得到 。 注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程： 。 [编辑] 特性 [编辑] 线性方程 主条目：态叠加原理 薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与 是某薛定谔方程的解。设定 ， 其中， 与 是任何常数。 则 也是一个解。 [编辑] 证明 根据不含时薛定谔方程 (1) ， ， 。 线性组合这两个方程的解， 。 所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。 [编辑] 实值的本征态 不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的，能量为 的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。 。 对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数 也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。 转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答 。其替代波函数是另外一个解答： 。 这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。 [编辑] 么正性 在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为么正性。薛定谔方程能够自动地维持么正性。用波函数表达， 。(3) 为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程， 与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。设定 ；其中， 是归一常数，使得 。 这样，新波函数 还是这个薛定谔方程的解答，而且， 已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数 相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足么正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持么正性。 [编辑] 证明 总概率随时间的微分表达为 。(4) 思考含时薛定谔方程， 。 其复共轭是 。 所以， 代入方程 (4) ， 在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以， 。 薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。 [编辑] 完备基底 能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。 [编辑] 相对论性薛定谔方程 主条目：相对论量子力学 薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式， ； 其中， 是光速， 是静止质量。 直接地用这关系式来推广薛定谔方程： 。 或者，稍加编排， ； 其中， ， 是达朗贝尔算符。 这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守 ； 其中， 是角频率，可以是正值或负值。 对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。 保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程： ， 其中，是自旋-½ 粒子的质量， 与 分别是空间和时间的坐标。 狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。 假若，一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性 。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为 。当盒子的长度 等于康普顿波长 时，能量的不确定性等于粒子的质能 。当盒子的长度 小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。 [编辑] 解析方法 一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法： 量子微扰理论 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。 变分原理 (variational principle) 。 量子蒙特·卡罗方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。 密度泛函理论。 WKB 近似 (WKB approximation) 与半经典扩展。 对于某些特殊的状况，可以使用特别方法： 有解析解量子系统列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。 哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。 离散 delta 位势方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。 [编辑] 实例 [编辑] 自由粒子 主条目：自由粒子 当位势为 0 时，薛定谔方程为 。 解答是一个平面波： ， 其中， 是波矢量， 是角频率。 代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系： 。 由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数 必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。 在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。： ； 其中，积分的区域是所有的 -空间。 为了简化计算，只思考一维空间， ； 其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅 是线性叠加的系数函数。 逆反过来，系数函数可以表达为 ； 其中， 是波函数在时间 的函数形式。 所以，知道波函数在时间 的形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波函数在任何时间的形式 。 [编辑] 一维谐振子 主条目：量子谐振子 能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (） 。横轴表示位置 。此图未经归一化。在一维谐振子问题中，一个质量为 的粒子，受到一位势 。此粒子的哈密顿算符 为 ； 其中， 为位置。 为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程： 。 我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解： 。 最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) ： 。 相应的能阶为 。 值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是 ，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。 [编辑] 球对称位势 主条目：球对称位势 一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为 ； 其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数， 是位势， 是径向距离， 是能量。 采用球坐标 ，将拉普拉斯算子 展开： 。 满足薛定谔方程的本征函数 的形式为： ， 其中， ， ， ，都是函数。 与 时常会合并为一个函数，称为球谐函数， 。这样，本征函数 的形式变为： 。 [编辑] 角部分解答 相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程 ； 其中，非负整数 是角动量的角量子数。 （满足 ）是角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 与 给予不同的球谐函数解答 ： ； 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为 ； 而 是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为 。 [编辑] 径向部分解答 将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程： 。 设定函数 。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到 。 径向方程变为 ； 其中，有效位势 。 这正是函数为 ，有效位势为 的薛定谔方程。径向距离 的定义域是从 到 。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。 [编辑] 参阅

非线性薛定谔方程（nonlinear Schödinger(NLS)equation） 通常的（线性）薛定谔方程不仅具有明确的量子力学意义,而且还能描述各种弱色散缓慢调制波动,其计及量子或经典弱非线性效应后的各种修正形式即为NLS方程.典型的NLS方程仅含立方非线性项 iΨt+Ψxx±2|Ψ|2Ψ=0 它也具有上述线性情况下的双重意义,例如在量子力学中Ψ可代表弱互作用非理想玻色气体的凝聚波函数,而在经典波动意义下Ψ则可代表深水表面波、Langmuir等离子体波及Kerr介质中超短脉冲光波之调制波幅.因其色散与非线性效应得以微妙

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省级期刊省级期刊指由各省、自治区、直辖市及其所属部、委办、厅、局主办的期刊以及由各本、专科院校主办的学报(刊)。国家级期刊国家级期刊指由国家部委、全国性团体、组织、机关、学术机构主办的刊物。核心期刊目前国内有7大核心期刊(或来源期刊)遴选体系，凡是这些来源期刊目录里有的刊物均可认为核心期刊，包括北京大学图书馆“中文核心期刊”、南京大学“中文社会科学引文索引(CSSCI)来源期刊”、中国科学院文献情报中心“中国科学引文数据库(CSCD)来源期刊”、中国科学技术信息研究所“中国科技论文统计源期刊”(又称“中国科技核心期刊”)、中国社会科学院文献信息中心“中国人文社会科学核心期刊”、中国人文社会科学学报学会“中国人文社科学报核心期刊”、万方数据股份有限公司正在建设中的“中国核心期刊遴选数据库”。

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