关于数学解题方法的论文题目怎么写

想想，初中都学了那些？我在上中学时都没写过论文，现在上初中都要写论文啦？真是悲剧呀！但初中的数学还是很简单的，写一篇论文，可以联系到自己已经上过的知识。下面给你一些建议：可以写，对任意的二元一次方程组的解转换为图形的交点问题。还有，不知道三角函数有没有上，如果上了可以论证三角公式，比如说，(sinA)^2+(cosA)^2=1，(tanX)^2=(secX)^2-1

1、数学中的研究性学习2、数字危机4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用22、数学选择题的利和弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练和培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学68、方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；76、数学中的美；77、数学的和谐和统一----谈论数学中的美；78、推测和猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；86、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探96、城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广和应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活——谈xx111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义118、例谈培养数学思维的深刻性120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问和思维能力的培养125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反，从反面来考虑问题128、实数的构造，完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练 130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想和方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及和134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明140、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界，上、下极限的定义，性质及应用 151、复均方可积随机变量空间的讨论155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响160、函数性质的应用163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究167、函数的凸性及其在不等式中的应用171、数学归纳法教学探究174、关于全概率公式及其应用的研究176、变量代换法与常微分方程的求解188、不等式解法大观189、谈谈“ 隐函数 ”190、有限维矩阵的范数计算与估计191、数学奥赛中数论问题的解题方法研究193、微分方程积分因子的研究195、关于泰勒公式196、解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法197、最大模原理的推广及其应用198、π的奥秘——从圆周率到统计199、对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考200、无理数e的发现及其应用202、闭区间套定理的推广和应用203、函数的上下极限及其应用205、关于多值函数的解析理论探讨208、比较函数法在常微分方程中的应用209、数学分析的直观与严密303、求随机函数的分布函数和分布密度的方法304、条件期望的性质及其应用308、凸函数的等价命题及其应用310、有界变差函数的定义及其性质311、初等函数的极值

写出你们上课时说的内容应用到生活中

是论文啊论文啊·我也急需·同是天涯沦落人啊~~~

关于数学解题方法的论文题目怎么写啊

学术堂整理了十个毕业论文题目供大家进行参考：　　1、小学数学教师几何知识掌握状况的调查研究　　2、小学数学教师教材知识发展情况研究　　3、中日小学数学“数与代数”领域比较研究　　4、浙江省Y县县域内小学数学教学质量差异研究　　5、小学数学教师教科书解读的影响因素及调控策略研究　　6、中国、新加坡小学数学新课程的比较研究　　7、小学数学探究式教学的实践研究　　8、基于教育游戏的小学数学教学设计研究　　9、小学数学教学中创设有效问题情境的策略研究　　10、小学数学生活化教学的研究

写出你们上课时说的内容应用到生活中

整体分三个部分第一部分写写自己对于数学的理解与认识，概括一下数学知识的内容第二部分写自己在数学学习中遇到的问题，和自己擅长的数学题，数学方法第三部分写在以后的学习与生活中，如何对待这门课程，怎样克服缺点，继续保持好的习惯，最后表下决心，要学好这门课就可以了

浅谈中学数学中的反证法数学选择题的利和弊浅谈计算机辅助数学教学论研究性学习浅谈发展数学思维的学习方法关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法

关于中学数学的论文题目解题方法怎么写

最佳答案数学小论文的结构： ◎命题 ◎实例探讨 ◎感悟 ◎发现新知 ◎推荐有一篇六年级学生的小论文，谨供参考！数学的色彩清晨，鲜红的太阳露出半个笑脸，和谐的阳光洒满人间，我的心情真是好极了。突然接到爷爷的电话，叫我巧算九块五加九十九块五，我马上告诉爷爷：九加九十九，再加一，不就等于一百零九吗？爷爷说我的算法还不算巧，如果凑整减零头就好算得多。我马上打断爷爷的话，告诉他：10+100-1=109（元）。这时爷爷夸我，说我还算灵巧。这是早晨的数学题，我把数学定为红色。上午，爸爸从银行交完电费回来，叫我计算电费。用电量是从1079-1279（度），每度电单价是38元，我用心算整好200度，我把单价变为分数是38/100，列式：200×（38/100），先约分再乘，等于76元。爸爸说没错，和电脑算得一样。我很得意，这时已近中午，我把数学定为黄色。下午，我和妹妹在家里切西瓜，把半个西瓜再均匀地切两刀，其中的两份就是2/3，我问妹妹这两份是整个西瓜的几分之几呢？妹妹开学才上一年级，当然不会算，我告诉她把西瓜整体看作1，第一分率是1/2，它的分率是2/3，相乘的结果就是这两份是整个西瓜的2/6，约分后就是1/3。这时我想爷爷曾说七色阳光为白色，那么，这个数学就定为白色吧。夜晚在蓝色的星空下，我和妈妈在一起看电视，我怎么也弄不懂考古学家是怎样从腿骨的化石推算出大艾尔恐龙的身高呢？妈妈说这蓝色的数学等你长大了，本事大了自然就会了。生活中的数学简直是太多了，真是绚丽多彩，它随时在你身边出现。我爱数学，我要学好数学。

从几方面些吧方程式几何函数等等吧

关于数学解题方法的论文怎么写初中

一、体验学习的认识体验是指“通过实践来认识周围的事物”，是人类的一种心理感受，是带有主观经验和感情色彩的认识，与个人的经历有着密切的关系。数学学习中的体验是指学生个体在数学活动中，通过行为、认知和情感的参与，获得对数学事实与经验的理性认知和情感态度。因此，体验具有以下特点： 1、体验是对学习个体的重视。包括个体的各种生活经验、独特的思维方式和情感态度。因为真正有价值的学习是以学生个体经验为基础的，是学生对知识主动建构的过程，更是使学生整个精神世界发生变化的过程。 2、体验是学习个体在数学活动中的行为、认知与情感的整体参与。数学课堂上的行为具体表现为：看一看、摸一摸、摆一摆、拆一拆、拼一拼、折一折、剪一剪、画一画等各种形式的感官活动。体验除了感官活动，还需要猜测、类比、分析、验证、归纳、推理等各种思维活动。课堂教学中，教师指令性的、没有思考空间的各种操作活动并不是体验，它仅仅是模仿性的机械操作而已。 3、体验中的数学活动包括合作与交流。这是因为数学建构活动有其社会性质，也就是说，“个人创造的数学必须取决于数学共同体的‘裁决’，只有为数学共同体所一致接受的数学概念、方法、问题等，才能真正成为数学的成分。”因此，个体的经验要与同伴和教师交流与分享，才能达到共同建构的目的二、体验学习的实施（一）提供“生活化”的学习材料，让学生在情境中体验。 1、课前关注学生值得体验的内容。小学生由于缺乏生活的经历，有些知识学起来感到吃力，这就需要我门在教学这些知识之前，组织学生参观或收集生活中相应的数学素材，为学生提供感性认识。如，在教学生认识钟面时，我在课前，给学生布置任务，每人设计一个“钟面”，于是，全班同学回家后纷纷行动起来，用纸壳、图画纸等材料，仿照自家的钟面制作起来，有不懂的地方请家长辅助制作。学生在亲手制作的过程中学到了很多知识。结果在正式上钟面这一课时，就显得很轻松了，原本感觉很难讲授的知识，学生对答如流，并且，还随时地向老师提出了许多超出本节内容的东西。正是学生有了这些亲身体验，学生上课时思路打开了，非常投入，热情很高，学习起来特别轻松。 2、课上开放教学内容，引导学生体验。教育是人的教育，是科学教育与生活教育的融合。因此，数学内容必须与学生的生活实际相结合。小学数学教学内容绝大多数可以联系生活实际。在教学中，教师只要把教材与现实生活有机的结合起来，就能使学生体会到数学离不开生活，体会到数学的用途。才能很好地把数学与生活挂上钩，更好地理解和掌握基础知识，并运用所学的知识解决实际问题，减少学生对数学的畏惧感和枯燥感。这对于培养学生对数学的浓厚兴趣、探索意识、应用意识和实践能力具有重要意义。如我在教学“加减法速算”时，是这样引入的，首先由电脑出示3箱苹果，其中2箱每箱100个，另有一个箱子里有47个，让学生从中取出199个，鼓励学生自由地思考“取”的方法。甲生：先拿47个，再拿100个，最后再从100个的一箱中取出52个，这样就取出199个；乙生：我先取100个，再从另一箱中取99个，共取出199个；丙生：我先取出两箱是200个，再拿出1个放回47个的那个箱子，这样就取出199个。师:如果让你来取出这199个苹果，你会用哪种方法？为什么？结合不同取法的交流，电脑进行取苹果过程的演示，使学生直观而又深刻地体会到，先取2箱再放回1个的取法最简便。由于所设计的问题情景，贴近学生的生活实际，情景中的问题是开放的且能向学生提出智力挑战，所以引起了学生的兴趣，思维一下子被激活了。大家凭借已有的知识和生活经验，多角度地进行思考，成功地解决问题，而解决问题的思维活动中，隐含着“多加要减”“多减要加”的思想方法，为学生主动探究加减法速算的算理提供了鲜活的生活原型。（二）提供机会，让学生在实践中体验。 1、提供“玩”的机会，让学生在玩耍中体验。爱玩是小学生的天性，是他们的兴趣所在。心理学研究结果表明：促进人们素质、个性发展的最主要途径是人们的实践活动，而“玩”正是儿童这一年龄阶段特有的实践活动形式。在教学中，可以把课本中的一些新授知识转化成“玩耍”活动，创造这样的氛围以适应和满足儿童的天性。例如，在教学《分数的基本性质》时，我拿着36本书让学生按第一小组分得这些书的1/3，第二小组分得这些书的2/6，第三小组分得这些书的3/9，进行分书游戏。学生从争论这样分不合理，到结果每组分得的书一样多，从中体验分数的基本性质。通过把课本中的新授知识转换成“玩耍”活动，不仅使学生心情自然愉快、厌学情绪消失，而且还能从“玩耍”中自觉地探求有关知识、方法和技能，使“玩”向有收益、有选择、有节制、有创造的方面转化，所以会玩的过程也是一个体验学习的过程。 2、提供“做”的机会，让学生在操作中体验。 “做”就是让学生动手操作，通过操作，可以使学生获得大量的感性知识，同时也还有助于提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。因此，多让学生动手操作，创造一个愉悦的学习氛围，是提高教学效果的重要环节，也是学生体验学习的一种方式三、对“体验学习”课堂教学实践的几点体会 1、重视从学生的生活经验和已有知识出发，学习和理解数学，联系生活，使学生明白，数学是有用的，可以解决生活中的实际问题，从而促使学生用数学的眼光来看待生活问题。 2、通过实践活动，让学生观察、分析、推理、估计、想象、整理，在探索中体验数学的巨大作用，成为学生认真学习数学的动力。 3、加强合作交流，重视应用，从而促进学生的动手操作能力和应用能力。在学习中体验，留给学生充分发展的时间和空间，使学生在主动获取知识的过程中，思维得到锻炼，情感得到体验，创新能力和实践能力得到培养和发展。总之，体验学习是在素质教育大背景下产生的一种教育思想，它充分展示了以人为本的教育理念，要求教师确立学生的主体地位，引导学生参与教学的全过程中，在体验中思考，在思考中创造，在创造中发展。

自己写喽(*^__^*) 嘻嘻……

关于数学解题方法的论文3000字怎么写

一、课内重视听讲，课后及时复习。新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。二、适当多做题，养成良好的解题习惯。要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。三、调整心态，正确对待考试。首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。如何学好数学2 高中生要学好数学，须解决好两个问题：第一是认识问题；第二是方法问题。有的同学觉得学好教学是为了应付升学考试，因为数学分所占比重大；有的同学觉得学好数学是为将来进一步学习相关专业打好基础，这些认识都有道理，但不够全面。实际上学习教学更重要的目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养，果能如此，将终生受益。曾有一位领导告诉我，他的文科专业出身的秘书为他草拟的工作报告，因为华而不实又缺乏逻辑性，不能令他满意，因此只得自己执笔起草。可见，即使将来从事文秘工作，也得要有较强的科学思维能力，而学习数学就是最好的思维体操。有些高一的同学觉得自己刚刚初中毕业，离下次毕业还有3年，可以先松一口气，待到高二、高三时再努力也不迟，甚至还以小学、初中就是这样“先松后紧”地混过来作为“成功”的经验。殊不知，第一，现在高中数学的教学安排是用两年的时间学完三年的课程，高三全年搞总复习，教学进度排得很紧；第二，高中数学最重要、也是最难的内容（如函数、立几）放在高一年级学，这些内容一旦没学好，整个高中数学就很难再学好，因此一开始就得抓紧，那怕在潜意识里稍有松懈的念头，都会削弱学习的毅力，影响学习效果。至于学习方法的讲究，每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法，我这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。 l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学最大的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，而y=f(x）与x=f-1(y)却有相同的图象；又如，为什么当f（x－l）＝f（1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而 y＝f（x－l）与 y＝f（1-x)的图象却关于直线 x＝1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。 2‘学习立体几何要有较好的空间想象能力，而培养空间想象能力的办法有二：一是勤画图；二是自制模型协助想象，如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看，多想。但最终要达到不依赖模型也能想象的境界。 3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图，正确的办法是边画图边计算，要能在画图中寻求计算途径。 4、在个人钻研的基础上，邀几个程度相当的同学一起讨论，这也是一种好的学习方法，这样做常可以把问题解决得更加透彻，对大家都有益。

《勾股定理的证明方法探究》勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。容易看出， △ABA’ ≌△AA'C 。过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高，前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂天啊，那么多的字啊。